Σελίδα 1 από 1

Μια άσκηση με θεώρημα Μενελάου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 12, 2018 3:23 pm
από chris_gatos
Δίνεται τρίγωνο \displaystyle ABC. Αν \displaystyle D είναι ένα σημείο της πλευράς \displaystyle BC τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα

\displaystyle AD να είναι η διχοτόμος της \displaystyle \hat A καθώς και \displaystyle E,{\rm{ F}} σημεία των \displaystyle AB,{\rm{ AC}} τέτοια ώστε

τα ευθύγραμμα τμήματα \displaystyle DE,{\rm{ DF}} να είναι οι διχοτόμοι των γωνιών \displaystyle ADB,{\rm{ ADC}} αντιστοίχως.

Αν η προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος \displaystyle EF τέμνει την προέκταση της πλευράς \displaystyle BC στο \displaystyle P τότε, να

αποδείξετε ότι \displaystyle AP \bot AD.

https://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus%27s_theorem

Re: Μια άσκηση με θεώρημα Μενελάου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 12, 2018 4:21 pm
από Mihalis_Lambrou
chris_gatos έγραψε:
Τετ Σεπ 12, 2018 3:23 pm
Δίνεται τρίγωνο \displaystyle ABC. Αν \displaystyle D είναι ένα σημείο της πλευράς \displaystyle BC τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα

\displaystyle AD να είναι η διχοτόμος της \displaystyle \hat A καθώς και \displaystyle E,{\rm{ F}} σημεία των \displaystyle AB,{\rm{ AC}} τέτοια ώστε

τα ευθύγραμμα τμήματα \displaystyle DE,{\rm{ DF}} να είναι οι διχοτόμοι των γωνιών \displaystyle ADB,{\rm{ ADC}} αντιστοίχως.

Αν η προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος \displaystyle EF τέμνει την προέκταση της πλευράς \displaystyle BC στο \displaystyle P τότε, να

αποδείξετε ότι \displaystyle AP \bot AD.

https://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus%27s_theorem
Από Μενέλαο στο ABC με διατέμνουσα EFP είναι

\displaystyle{ 1= \frac {BP}{CP}\cdot \frac {CF}{FA}\cdot \frac {AE}{EB}= \frac {BP}{CP}\cdot \frac {CD}{DA}\cdot \frac {DA}{DB}} άρα

\displaystyle{ \frac {BP}{CP} =  \frac {DB}{CD}}

Αυτό σημαίνει ότι η AP είναι εξωτερική διχοτόμος της A, από όπου έπεται η ζητούμενη καθετότητα.

Re: Μια άσκηση με θεώρημα Μενελάου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 12, 2018 4:24 pm
από george visvikis
chris_gatos έγραψε:
Τετ Σεπ 12, 2018 3:23 pm
Δίνεται τρίγωνο \displaystyle ABC. Αν \displaystyle D είναι ένα σημείο της πλευράς \displaystyle BC τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα

\displaystyle AD να είναι η διχοτόμος της \displaystyle \hat A καθώς και \displaystyle E,{\rm{ F}} σημεία των \displaystyle AB,{\rm{ AC}} τέτοια ώστε

τα ευθύγραμμα τμήματα \displaystyle DE,{\rm{ DF}} να είναι οι διχοτόμοι των γωνιών \displaystyle ADB,{\rm{ ADC}} αντιστοίχως.

Αν η προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος \displaystyle EF τέμνει την προέκταση της πλευράς \displaystyle BC στο \displaystyle P τότε, να

αποδείξετε ότι \displaystyle AP \bot AD.

https://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus%27s_theorem
Από θεώρημα Μενελάου στο ABC με διατέμνουσα \displaystyle \overline {PEF} και από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε:

\displaystyle \frac{{AE}}{{EB}} \cdot \frac{{PB}}{{PC}} \cdot \frac{{FC}}{{AF}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{BD}} \cdot \frac{{PB}}{{PC}} \cdot \frac{{DC}}{{AD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{DC}}{{BD}} = \frac{{PC}}{{PB}}

κι επειδή το D είναι το ίχνος της εσωτερικής διχοτόμου, το P θα είναι το ίχνος της εξωτερικής διχοτόμου και το ζητούμενο έπεται.

Με πρόλαβαν. Το αφήνω για τον κόπο.