Απόδειξη και εύρεση γωνίας

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6963
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Απόδειξη και εύρεση γωνίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 12, 2018 1:57 pm

A. Να δείξετε ότι: \displaystyle \sin {30^0} + \sin {18^0} = \cos {36^0}

B. Αν \sin {12^0}\sin ({18^0} + x) = \sin x\sin {54^0}, να βρείτε την οξεία γωνία x.



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Απόδειξη και εύρεση γωνίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Σεπ 14, 2018 1:51 pm

Για το A:

Θέτω x=sin18^{\circ},y=cos36^{\circ}

Τότε

sin18^{\circ}=cos72^{\circ}\Rightarrow sin18^{\circ}=2cos^236^{\circ}-1\Rightarrow x=2y^2-1

και

cos36^{\circ}=sin54^{\circ}\Rightarrow cos36^{\circ}=sin18^{\circ}cos36^{\circ}+cos18^{\circ}sin36^{\circ}\Rightarrow cos36^{\circ}=sin18^{\circ}cos36^{\circ}+2sin18^{\circ}cos^218^{\circ}\Rightarrow cos36^{\circ}(1-sin18^{\circ})=2sin18^{\circ}cos^218^{\circ}\Rightarrow cos36^{\circ}(1-sin18^{\circ})=2sin18^{\circ}(1-sin^218^{\circ})\Rightarrow cos36^{\circ}(1-sin18^{\circ})=2sin18^{\circ}(1-sin18^{\circ})(1+sin18^{\circ})\Rightarrow cos36^{\circ}=2sin18^{\circ}+2sin^218^{\circ}\Rightarrow y=2x+2x^2

Οπότε,

y=2x+2x^2\Rightarrow y=2(2y^2-1)+2(2y^2-1)^2\Rightarrow y=4y^2-2+8y^4-8y^2+2\Rightarrow y=8y^4-4y^2\Rightarrow 8y^3-4y=1\Rightarrow 2y^3-y=\frac{1}{4}\Rightarrow 2y^3+y^2=y^2+y+\frac{1}{4}\Rightarrow 2y^2(y+\frac{1}{2})=(y+\frac{1}{2})^2\Rightarrow 2y^2-y-\frac{1}{2}=0\Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{5}}{4}

και x=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.


Αρα y-x=\frac{1}{2}=sin30^{\circ}, ό.έ.δ.


Κώστας Σφακιανάκης
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Απόδειξη και εύρεση γωνίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Σεπ 14, 2018 2:04 pm

Για το Β:

Εχουμε

sin12^{\circ}sin(18^{\circ}+x)=sinxsin54^{\circ}\Leftrightarrow sin12^{\circ}sin18^{\circ}cosx+sin12^{\circ}cos18^{\circ}sinx=sinxcos36^{\circ}\Leftrightarrow sin12^{\circ}sin18^{\circ}cosx+sin12^{\circ}cos18^{\circ}sinx=sinxsin30^{\circ}+sinxsin18^{\circ}\Leftrightarrow sin12^{\circ}sin18^{\circ}cosx+sin12^{\circ}cos18^{\circ}sinx=sinxsin18^{\circ}cos12^{\circ}+sinxcos18^{\circ}sin12^{\circ}+sinxsin18^{\circ}\Leftrightarrow sin12^{\circ}sin18^{\circ}cosx=sinxsin18^{\circ}cos12^{\circ}+sinxsin18^{\circ}\Leftrightarrow sin18^{\circ}(sin12^{\circ}cosx-cos12^{\circ}sinx)=sin18^{\circ}sinx\Leftrightarrow sin(12^{\circ}-x)=sinx\Leftrightarrow 12^{\circ}-x=x\Leftrightarrow x=6^{\circ}

Χρησιμοποιήθηκε στην τελευταία ισοδυναμία ότι x οξεία γωνία.


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6963
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απόδειξη και εύρεση γωνίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 15, 2018 11:12 am

Ευχαριστώ τον ksofsa για τη λύση. Αλλιώς...
sin18...png
sin18...png (6.02 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές
A. Ως γνωστόν η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι \displaystyle {\lambda _{10}} = \frac{R}{2}\left( {\sqrt 5  - 1} \right)

Άρα, \displaystyle \sin 18^\circ  = \frac{{{\lambda _{10}}}}{{2R}} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{4},\cos 36^\circ  = 1 - 2{\sin ^2}18^\circ  = ... = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{4} και το ζητούμενο έπεται.

B. \displaystyle \sin 30^\circ  + \sin 18^\circ  = \cos 36^\circ  \Leftrightarrow 2\sin 24^\circ \cos 6^\circ  = \sin 54^\circ  \Leftrightarrow \frac{{2\cos 6^\circ }}{{\sin 54^\circ }} = \frac{1}{{\sin 24^\circ }} \Leftrightarrow

\displaystyle \frac{{\sin 12^\circ }}{{\sin 54^\circ }} = \frac{{\sin 6^\circ }}{{\sin 24^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\sin (18^\circ  + x)}} = \frac{{\sin 6^\circ }}{{\sin 24^\circ }}, απ' όπου εύκολα προκύπτει \boxed{x=6^\circ}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης