Απόδειξη και εύρεση γωνίας

#1

Να δείξετε ότι: $\displaystyle \sin {30^0} + \sin {18^0} = \cos {36^0}$

Αν $\sin {12^0}\sin ({18^0} + x) = \sin x\sin {54^0},$ να βρείτε την οξεία γωνία

ksofsa · #2

Για το A:

Θέτω $x=sin18^{\circ},y=cos36^{\circ}$

Τότε

$sin18^{\circ}=cos72^{\circ}\Rightarrow sin18^{\circ}=2cos^236^{\circ}-1\Rightarrow x=2y^2-1$

και

$cos36^{\circ}=sin54^{\circ}\Rightarrow cos36^{\circ}=sin18^{\circ}cos36^{\circ}+cos18^{\circ}sin36^{\circ}\Rightarrow cos36^{\circ}=sin18^{\circ}cos36^{\circ}+2sin18^{\circ}cos^218^{\circ}\Rightarrow cos36^{\circ}(1-sin18^{\circ})=2sin18^{\circ}cos^218^{\circ}\Rightarrow cos36^{\circ}(1-sin18^{\circ})=2sin18^{\circ}(1-sin^218^{\circ})\Rightarrow cos36^{\circ}(1-sin18^{\circ})=2sin18^{\circ}(1-sin18^{\circ})(1+sin18^{\circ})\Rightarrow cos36^{\circ}=2sin18^{\circ}+2sin^218^{\circ}\Rightarrow y=2x+2x^2$

Οπότε,

$y=2x+2x^2\Rightarrow y=2(2y^2-1)+2(2y^2-1)^2\Rightarrow y=4y^2-2+8y^4-8y^2+2\Rightarrow y=8y^4-4y^2\Rightarrow 8y^3-4y=1\Rightarrow 2y^3-y=\frac{1}{4}\Rightarrow 2y^3+y^2=y^2+y+\frac{1}{4}\Rightarrow 2y^2(y+\frac{1}{2})=(y+\frac{1}{2})^2\Rightarrow 2y^2-y-\frac{1}{2}=0\Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

και $x=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ .

Αρα $y-x=\frac{1}{2}=sin30^{\circ}$ , ό.έ.δ.

ksofsa · #3

Για το Β:

Εχουμε

$sin12^{\circ}sin(18^{\circ}+x)=sinxsin54^{\circ}\Leftrightarrow sin12^{\circ}sin18^{\circ}cosx+sin12^{\circ}cos18^{\circ}sinx=sinxcos36^{\circ}\Leftrightarrow sin12^{\circ}sin18^{\circ}cosx+sin12^{\circ}cos18^{\circ}sinx=sinxsin30^{\circ}+sinxsin18^{\circ}\Leftrightarrow sin12^{\circ}sin18^{\circ}cosx+sin12^{\circ}cos18^{\circ}sinx=sinxsin18^{\circ}cos12^{\circ}+sinxcos18^{\circ}sin12^{\circ}+sinxsin18^{\circ}\Leftrightarrow sin12^{\circ}sin18^{\circ}cosx=sinxsin18^{\circ}cos12^{\circ}+sinxsin18^{\circ}\Leftrightarrow sin18^{\circ}(sin12^{\circ}cosx-cos12^{\circ}sinx)=sin18^{\circ}sinx\Leftrightarrow sin(12^{\circ}-x)=sinx\Leftrightarrow 12^{\circ}-x=x\Leftrightarrow x=6^{\circ}$

Χρησιμοποιήθηκε στην τελευταία ισοδυναμία ότι x οξεία γωνία.

#4

Ευχαριστώ τον ksofsa για τη λύση. Αλλιώς...

: sin18...png (6.02 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

Ως γνωστόν η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας

είναι $\displaystyle {\lambda _{10}} = \frac{R}{2}\left( {\sqrt 5 - 1} \right)$

Άρα, $\displaystyle \sin 18^\circ = \frac{{{\lambda _{10}}}}{{2R}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4},\cos 36^\circ = 1 - 2{\sin ^2}18^\circ = ... = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}$ και το ζητούμενο έπεται.

$\displaystyle \sin 30^\circ + \sin 18^\circ = \cos 36^\circ \Leftrightarrow 2\sin 24^\circ \cos 6^\circ = \sin 54^\circ \Leftrightarrow \frac{{2\cos 6^\circ }}{{\sin 54^\circ }} = \frac{1}{{\sin 24^\circ }} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{\sin 12^\circ }}{{\sin 54^\circ }} = \frac{{\sin 6^\circ }}{{\sin 24^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\sin (18^\circ + x)}} = \frac{{\sin 6^\circ }}{{\sin 24^\circ }},$ απ' όπου εύκολα προκύπτει $\boxed{x=6^\circ}$

Απόδειξη και εύρεση γωνίας

Απόδειξη και εύρεση γωνίας

Re: Απόδειξη και εύρεση γωνίας

Re: Απόδειξη και εύρεση γωνίας

Re: Απόδειξη και εύρεση γωνίας

Μέλη σε σύνδεση