Πολυώνυμο με θετικές ρίζες
Συντονιστής: chris_gatos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Πολυώνυμο με θετικές ρίζες
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε το πολυώνυμο
να έχει τέσσερις διαφορετικές θετικές ρίζες.
Τότε να αποδείξετε ότι:
να έχει τέσσερις διαφορετικές θετικές ρίζες.
Τότε να αποδείξετε ότι:
Χρήστος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Πολυώνυμο με θετικές ρίζες
Καταρχάς παρατηρούμε ότι όλες οι ρίζες θα είναι θετικές. Το μηδέν φανερά δεν είναι ρίζα και αρνητική δεν μπορεί να έχειchris_gatos έγραψε: ↑Τρί Σεπ 11, 2018 11:52 pmΈστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε το πολυώνυμο
να έχει τέσσερις διαφορετικές θετικές ρίζες.
Τότε να αποδείξετε ότι:
αφού στους αρνητικούς είναι Συνεπώς όλες οι θα έχουν και αυτές θετικές
ρίζες και μάλιστα ακριβώς διακεκριμένες ρίζες. Κάνοντας πράξεις βρίσκουμε
και επειδή έχει δύο διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες θα είναι Επίσης,
Αν είναι οι τρεις διακεκριμένες θετικές ρίζες του
τότε από και παίρνουμε
Τέλος αν
είναι οι τέσσερις διακεκριμένες θετικές ρίζες του τότε πάλι από
και παίρνουμε
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμο με θετικές ρίζες
Αν οι θετικές ρίζες έχουμε από Vietachris_gatos έγραψε: ↑Τρί Σεπ 11, 2018 11:52 pmΈστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε το πολυώνυμο
να έχει τέσσερις διαφορετικές θετικές ρίζες.
Τότε να αποδείξετε ότι:
.
Παρατηρούμε από ΑΜ-ΓΜ ότι (με γνήσια ανισότητα διότι άνισα) ή αλλιώς , που δίνει .
Όμοια οι υπόλοιπες από τις (άμεσες) ανισότητες και
Edit. Με πρόλαβαν. Το αφήνω για τον κόπο και τις μικροδιαφορές.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμο με θετικές ρίζες
Στην πραγματικότητα η ανισότητα που ζητάει ο Χρήστος είναι η ανισότητα Maclaurin για (ή αλλιώς symmetric mean inequality)
με την ισότητα να ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις αν και μόνο αν .
Περισσότερα εδώ.
Αλέξανδρος
με την ισότητα να ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις αν και μόνο αν .
Περισσότερα εδώ.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες