Πολυώνυμο με θετικές ρίζες

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6765
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Πολυώνυμο με θετικές ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Σεπ 11, 2018 11:52 pm

Έστω \displaystyle \alpha ,{\rm{ b}}{\rm{, c}}{\rm{, d}} θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε το πολυώνυμο

\displaystyle P(x) = {x^4} - 4\alpha {x^3} + 6{b^2}{x^2} - 4{c^3}x + {d^4}

να έχει τέσσερις διαφορετικές θετικές ρίζες.

Τότε να αποδείξετε ότι:

\displaystyle \alpha  > b > c > d


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Πολυώνυμο με θετικές ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Σεπ 12, 2018 1:30 am

chris_gatos έγραψε:
Τρί Σεπ 11, 2018 11:52 pm
Έστω \displaystyle \alpha ,{\rm{ b}}{\rm{, c}}{\rm{, d}} θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε το πολυώνυμο

\displaystyle P(x) = {x^4} - 4\alpha {x^3} + 6{b^2}{x^2} - 4{c^3}x + {d^4}

να έχει τέσσερις διαφορετικές θετικές ρίζες.

Τότε να αποδείξετε ότι:

\displaystyle \alpha  > b > c > d
Καταρχάς παρατηρούμε ότι όλες οι ρίζες θα είναι θετικές. Το μηδέν φανερά δεν είναι ρίζα και αρνητική δεν μπορεί να έχει

αφού στους αρνητικούς είναι P(x)>0. Συνεπώς όλες οι P^{(n)}(x),n=1,2,3 θα έχουν και αυτές θετικές

ρίζες και μάλιστα ακριβώς 4-n διακεκριμένες ρίζες. Κάνοντας πράξεις βρίσκουμε P^{(2)}(x)=12x^2-
24ax+12b^2

και επειδή έχει δύο διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες θα είναι 24^2a^2-24^2b^2>0\Rightarrow a>b. Επίσης,

P^{(1)}(x)=4x^3-12ax^2+12b^2x-4c^3. Αν x_1,x_2,x_3 είναι οι τρεις διακεκριμένες θετικές ρίζες του

P^{(1)}(x) τότε από Vieta και AM-GM παίρνουμε

\sum x_ix_j>3\sqrt[3]{(x_1x_2x_3)^2}\Rightarrow 3b^2>3c^2\Rightarrow b>c. Τέλος αν

y_1,y_2,y_3,y_4 είναι οι τέσσερις διακεκριμένες θετικές ρίζες του P(x) τότε πάλι από Vieta

και AM-GM παίρνουμε \sum y_iy_jy_l>4\sqrt[4]{(y_1y_2y_3y_4)^3}\Rightarrow 4c^3>4d^3\Rightarrow c>d.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10313
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμο με θετικές ρίζες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 12, 2018 1:44 am

chris_gatos έγραψε:
Τρί Σεπ 11, 2018 11:52 pm
Έστω \displaystyle \alpha ,{\rm{ b}}{\rm{, c}}{\rm{, d}} θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε το πολυώνυμο

\displaystyle P(x) = {x^4} - 4\alpha {x^3} + 6{b^2}{x^2} - 4{c^3}x + {d^4}

να έχει τέσσερις διαφορετικές θετικές ρίζες.

Τότε να αποδείξετε ότι:

\displaystyle \alpha  > b > c > d
Αν p, q, r, s οι θετικές ρίζες έχουμε από Vieta

 a= \dfrac {p+q+r+s}{4}, \,  b^2= \dfrac {pq+pr+...+rs}{6}, c^3= \dfrac {pqr+...+qrs}{4},\,  d^4=pqrs.

Παρατηρούμε από ΑΜ-ΓΜ ότι (με γνήσια ανισότητα διότι p,q,r,s άνισα)  \dfrac {pqr+...+qrs}{4} > \sqrt [4]{p^3q^3r^3s^3} ή αλλιώς c^3> \sqrt [4]{(d^4)^3} , που δίνει c>d.

Όμοια οι υπόλοιπες από τις (άμεσες) ανισότητες  \left (\dfrac {p+q+r+s}{4} \right ) ^2> \dfrac {pq+pr+...+rs}{6} και
 \left (  \dfrac {pq+pr+...+rs}{6}\right ) ^3 > \left (\dfrac {pqr+...+qrs}{4} \right ) ^2

Edit. Με πρόλαβαν. Το αφήνω για τον κόπο και τις μικροδιαφορές.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3825
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμο με θετικές ρίζες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Σεπ 12, 2018 10:27 am

Στην πραγματικότητα η ανισότητα που ζητάει ο Χρήστος είναι η ανισότητα Maclaurin για n=4 (ή αλλιώς symmetric mean inequality)

\begin{aligned}\dfrac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} &\geq \sqrt{\dfrac{a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4}{6}} \\ &\geq \sqrt[3]{\dfrac{a_1a_2a_3+a_1a_2a_4+a_1a_3a_4+a_2a_3a_4}{4}} \\ &\geq \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}\end{aligned}

με την ισότητα να ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις αν και μόνο αν a_1=a_2=a_3=a_4.

Περισσότερα εδώ.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης