Γινόμενο τριγωνομετρικών

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3413
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Γινόμενο τριγωνομετρικών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιουν 14, 2018 5:15 pm

Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\cot 36^\circ \cdot \cot 72^\circ = \frac{\sqrt{5}}{5}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6754
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γινόμενο τριγωνομετρικών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 14, 2018 6:58 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιουν 14, 2018 5:15 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\cot 36^\circ \cdot \cot 72^\circ = \frac{\sqrt{5}}{5}}
\displaystyle \cot {36^0}\cot {72^0} = \cot {36^0}\frac{{2{{\cot }^2}{{36}^0} - 1}}{{2\cot {{36}^0}}} = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\frac{{\cos {{36}^0}}}{{\sin {{36}^0}}}} \right)}^2} - 1} \right] = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\frac{{\sqrt 5  + 1}}{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}} \right)}^2} - 1} \right] =

\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{{4(\sqrt 5  - 1)}}{{2(5 - \sqrt 5 )}} = \frac{{(\sqrt 5  - 1)(5 + \sqrt 5 )}}{{20}} = \frac{{4\sqrt 5 }}{{20}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1372
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γινόμενο τριγωνομετρικών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Ιουν 15, 2018 12:07 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιουν 14, 2018 5:15 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\cot 36^\circ \cdot \cot 72^\circ = \frac{\sqrt{5}}{5}}

\displaystyle A = \cot 36 \cdot \cot 72 \Rightarrow A + 1 = \frac{{\cos 36 \cdot \cos 72 + \sin 36 \cdot \sin 72}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} = \frac{{\cos 36}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} \Rightarrow \boxed{\cos 72 = \frac{A}{{A + 1}}}

\displaystyle A - 1 = \frac{{\cos 36 \cdot \cos 72 - \sin 36 \cdot \sin 72}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} = \frac{{\cos 108}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} =  - \frac{{\cos 72}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} \Rightarrow \boxed{\cos 36 = \frac{A}{{1 - A}}}

\displaystyle \cos 72 = 2{\cos ^2}36 - 1 \Rightarrow \frac{A}{{A + 1}} = 2{\left( {\frac{A}{{1 - A}}} \right)^2} - 1 \Rightarrow 5{A^2} = 1 \Rightarrow \boxed{A = \frac{{\sqrt 5 }}{5}}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γινόμενο τριγωνομετρικών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιουν 15, 2018 1:13 am



Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3413
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Γινόμενο τριγωνομετρικών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιουν 15, 2018 8:50 am

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 12:07 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιουν 14, 2018 5:15 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\cot 36^\circ \cdot \cot 72^\circ = \frac{\sqrt{5}}{5}}

\displaystyle A = \cot 36 \cdot \cot 72 \Rightarrow A + 1 = \frac{{\cos 36 \cdot \cos 72 + \sin 36 \cdot \sin 72}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} = \frac{{\cos 36}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} \Rightarrow \boxed{\cos 72 = \frac{A}{{A + 1}}}

\displaystyle A - 1 = \frac{{\cos 36 \cdot \cos 72 - \sin 36 \cdot \sin 72}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} = \frac{{\cos 108}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} =  - \frac{{\cos 72}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} \Rightarrow \boxed{\cos 36 = \frac{A}{{1 - A}}}

\displaystyle \cos 72 = 2{\cos ^2}36 - 1 \Rightarrow \frac{A}{{A + 1}} = 2{\left( {\frac{A}{{1 - A}}} \right)^2} - 1 \Rightarrow 5{A^2} = 1 \Rightarrow \boxed{A = \frac{{\sqrt 5 }}{5}}
Καταπληκτική λύση. :clap2: :clap2: :clap2:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης