Oλοκλήρωμα

Συντονιστής: chris_gatos

mick7
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Oλοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Πέμ Απρ 12, 2018 10:08 pm

Να υπολογιστεί το

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cosx \cdot log(cosx)dx



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3473
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Oλοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Απρ 12, 2018 11:05 pm

Βρίσκω \log 2-1 ... αλλά έχω πολύ αργή πρόσβαση στο internet για να γράψω λύση. Μόλις επανέλθει η ταχύτητα θα γράψω απάντηση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10313
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Oλοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 12, 2018 11:11 pm

mick7 έγραψε:
Πέμ Απρ 12, 2018 10:08 pm
Να υπολογιστεί το

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cosx \cdot log(cosx)dx
Μπορούμε εύκολα και το ορισμένο ολοκλήρωμα: Με ολοκλήρωση κατά μέρη

\displaystyle{\int  \cos x \cdot \log(\cos x)dx = \sin x \cdot \log(\cos x) + \int  \sin  x \frac {\sin x}{\cos x}  dx = \sin x \cdot \log(\cos x) + \int \frac {1- \cos ^2  x}{\cos x}  dx}

\displaystyle{= \sin x \cdot \log(\cos x) + \int \sec x  dx - \int \cos x dx = \sin x \cdot \log(\cos x) + \log (\sec x + \tan x )  - \sin x + c}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1902
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Oλοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Απρ 13, 2018 10:17 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Απρ 12, 2018 11:11 pm
mick7 έγραψε:
Πέμ Απρ 12, 2018 10:08 pm
Να υπολογιστεί το

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cosx \cdot log(cosx)dx
Μπορούμε εύκολα και το ορισμένο ολοκλήρωμα: Με ολοκλήρωση κατά μέρη

\displaystyle{\int  \cos x \cdot \log(\cos x)dx = \sin x \cdot \log(\cos x) + \int  \sin  x \frac {\sin x}{\cos x}  dx = \sin x \cdot \log(\cos x) + \int \frac {1- \cos ^2  x}{\cos x}  dx}

\displaystyle{= \sin x \cdot \log(\cos x) + \int \sec x  dx - \int \cos x dx = \sin x \cdot \log(\cos x) + \log (\sec x + \tan x )  - \sin x + c}
Επειδή η παράγουσα δεν ορίζεται στο \frac{\pi }{2}

για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος πρέπει να υπολογισθεί το όριο

\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\sin x \cdot \log(\cos x) + \log (\sec x + \tan x )

Ο υπολογισμός του παρουσιάζει ενδιαφέρον.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3473
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Oλοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 13, 2018 10:18 am

mick7 έγραψε:
Πέμ Απρ 12, 2018 10:08 pm
Να υπολογιστεί το

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cosx \cdot log(cosx)dx
Σήμερα που επανήλθε το DSN από το πάροχο και πλέον δε μου πέφτει το internet και μιας και το επιτρέπει ο φάκελος , ανεβάζω τη λύση μου. Δεν είναι τόσο απλή όσο του κ. Μιχάλη μιας και το πρώτο πράγμα που σκέφτηκα εχθές ήταν οι σειρές Fourier οπότε η λύση είναι στο κλίμα αυτό.

Έχουμε διαδοχικά:
\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{J} &= \int_{0}^{\pi/2} \cos x \log \cos x \, {\rm d}x \\  
 &= \int_{0}^{\pi/2} \cos x \left ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cos 2nx}{n}  - \log 2\right ) \, {\rm d}x\\  
 &=-\log 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, {\rm d}x + \int_{0}^{\pi/2} \cos x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cos 2nx}{n} \, {\rm d}x \\  
 &= -\log 2  + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \int_{0}^{\pi/2} \cos x \cos 2nx \, {\rm d}x\\  
 &=-\log 2 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left ( 1-4n^2 \right )} \\  
 &=  -\log 2 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left ( 1-2n \right )\left ( 1+2n \right )} \\ 
 &= -\log 2  - \left( 1 - 2 \log 2 \right) \\ 
 &=\log 2 -1  
\end{aligned}}
Η σειρά \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left ( 1-4n^2 \right )} = 1 - 2 \log 2 } αφήνεται ως άσκηση... Επιπλέον ισχύει ότι

\displaystyle{ \int_{0}^{\pi/2} \cos x \cos 2nx \, {\rm d}x = \frac{(-1)^n}{1-4n^2}}
το οποίο αφήνεται και αυτό ως άσκηση.


Ενημέρωση: Ένας τρόπος υπολογισμού του αθροίσματος ( με πραγματική ανάλυση ) και φυσικά όχι ο μόνος είναι ο ακόλουθος.

\displaystyle{\begin{aligned}  
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n-1} - \frac1{2n+1}\right) &= \sum_{n=1 }^{\infty }\left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{2n-1}\right) + \sum_{n= 1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+1}\right) \\ 
&= \sum_{n= 1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} + \sum_{n= 2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n} \\ 
&= 2\sum_{n= 1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} + 1 \\ 
&= 1 - 2\log2  
\end{aligned}}
Το πιθανότερο είναι να είμαι εκτός πνεύματος ΑΣΕΠ αλλά δε πειράζει να δώσω μία άλλη νότα υπολογισμού με βαριά εργαλεία της Ανάλυσης.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3473
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Oλοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 30, 2018 12:25 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Απρ 13, 2018 10:17 am

Επειδή η παράγουσα δεν ορίζεται στο \frac{\pi }{2}

για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος πρέπει να υπολογισθεί το όριο

\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\sin x \cdot \log(\cos x) + \log (\sec x + \tan x )

Επαναφορά... ! :)

Ενημέρωση: Τέθηκε και απαντήθηκε εδώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης