Κριτήριο ισοσκελούς

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κριτήριο ισοσκελούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 22, 2017 6:01 pm

Κριτήριο ισοσκελούς.png
Κριτήριο ισοσκελούς.png (8.58 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι BD=CE και \omega+\varphi=\theta +x. Να δείξετε ότι AB=AC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5253
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κριτήριο ισοσκελούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Σεπ 23, 2017 10:46 pm

Εντάξει Γιώργο.
Αλλάζω την απόδειξη και θα επανέλθω για να το αποδείξω όπως αρχικά είχα σκεφτεί δηλαδή με ταυτόσημα βήματα όπως εκείνα του:
"Αν οι διχοτόμοι τριγώνου είναι ίσες, τότε, αυτό είναι ισοσκελές". Απλά ήθελα να κάνω μία υπέρβαση με τους κύκλους, ιδέα που με δελέασε...

Αρχικά θεωρούμε το παραλληλόγραμμο BDTE. Έστω \angle {C_2} < \angle {B_2}, τότε EB < DC \Leftrightarrow DT < DC.

Παρατηρούμε ότι \angle {C_2} < \angle {B_2} \Rightarrow \angle {C_1} + \angle {B_2} - \angle {B_1} < \angle {B_2} \Rightarrow \angle {C_1} < \angle {B_1} ή \angle {C_1} < \angle {T_1} \Rightarrow \angle {T_2} < \angle {C_3} \Rightarrow DC < TD = BE,

καθότι EC = ET \Rightarrow \angle TCE = \angle ETC. Όμως η DC < EB είναι άτοπο. Όμοια αν υποθέσουμε \angle {C_2} > \angle {B_2}

θα καταλήξουμε και πάλι σε άτοπο. Συνεπώς EB=DC που μας οδηγεί άμεσα στην \angle B = \angle C \Leftrightarrow AB = AC.
Συνημμένα
διχοτ..png
διχοτ..png (7.81 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κριτήριο ισοσκελούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 24, 2017 11:02 am

S.E.Louridas έγραψε:
Σάβ Σεπ 23, 2017 10:46 pm
Εντάξει Γιώργο.
Αλλάζω την απόδειξη και θα επανέλθω για να το αποδείξω όπως αρχικά είχα σκεφτεί δηλαδή με ταυτόσημα βήματα όπως εκείνα του:
"Αν οι διχοτόμοι τριγώνου είναι ίσες, τότε, αυτό είναι ισοσκελές". Απλά ήθελα να κάνω μία υπέρβαση με τους κύκλους, ιδέα που με δελέασε...

Αρχικά θεωρούμε το παραλληλόγραμμο BDTE. Έστω \angle {C_2} < \angle {B_2}, τότε EB < DC \Leftrightarrow DT < DC.

Παρατηρούμε ότι \angle {C_2} < \angle {B_2} \Rightarrow \angle {C_1} + \angle {B_2} - \angle {B_1} < \angle {B_2} \Rightarrow \angle {C_1} < \angle {B_1} ή \angle {C_1} < \angle {T_1} \Rightarrow \angle {T_2} < \angle {C_3} \Rightarrow DC < TD = BE,

καθότι EC = ET \Rightarrow \angle TCE = \angle ETC. Όμως η DC < EB είναι άτοπο. Όμοια αν υποθέσουμε \angle {C_2} > \angle {B_2}

θα καταλήξουμε και πάλι σε άτοπο. Συνεπώς EB=DC που μας οδηγεί άμεσα στην \angle B = \angle C \Leftrightarrow AB = AC.
:clap2:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10456
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κριτήριο ισοσκελούς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 24, 2017 11:33 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Σεπ 22, 2017 6:01 pm
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι BD=CE και \omega+\varphi=\theta +x. Να δείξετε ότι AB=AC.
Από τον Νόμο των ημιτόνων στα BCE, BCD έχουμε \displaystyle{\frac {\sin B}{\sin (B+ \phi)} =\frac {CE}{BC} =\frac {BD}{BC} =\frac {\sin C}{\sin (C+\theta)} }.

Άρα \displaystyle{   \sin (C+\theta)\sin B=  \sin (B+ \phi)\sin C  } , οπότε \displaystyle{ \cos (C+\theta-B) -\cos (C+\theta+ B) = \cos (B+\phi-C)- \cos (B+\phi +C)} ή αλλιώς

\displaystyle{\boxed { \cos (C+\theta-B) + \cos (B+\phi +C) = \cos (B+\phi-C)+  \cos (C+\theta+ B) }\,(*)}.

Έστω τώρα C>B (όμοια η ανάποδη περίπτωση). Τότε  \phi + x > \theta + \omega = \theta + (\theta +x-\phi) , άρα \boxed { \phi  > \theta } . Όμοια \boxed { x  > \omega} .

Από τις δύο αυτές εύκολα βγάζουμε C+\theta-B > B+\phi-C (ισοδυναμεί με την αληθή \phi +2x >  \theta + 2\omega) και  B+\phi +C > C+\theta+ B .

Επειδή το συνημίτονο είναι φθίνουσα συνάρτηση, από τις δύο τελευταίες έπεται

\cos (C+\theta-B) < \cos ( B+\phi-C) και  \cos (B+\phi +C) <  \cos (C+\theta+ B) που με πρόσθεση κατά μέλη έρχεται σε αντίφαση με την (*). Άτοπο.

Τελικά B=C.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης