Ανισότητα με περιορισμό

Συντονιστής: chris_gatos

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2012
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ανισότητα με περιορισμό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Σεπ 16, 2017 11:49 pm

Να δειχθεί ότι υπάρχει c> 0 ώστε

Για κάθε x,y\in \mathbb{R}

με \left | x \right |^{\frac{3}{2}}+\left | y \right |^{\frac{3}{2}}=2

ισχύει (x-y)^{2}\leq c(4-(x+y)^{2}).



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ανισότητα με περιορισμό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Σεπ 19, 2017 4:58 pm

Έστω y \geqslant 0. Τότε y(x) = \left( 2 - |x|^{3/2} \right)^{2/3} και θεωρούμε τη συνάρτηση f : [- 2^{2/3}, 2^{2/3}] \to \mathbb{R} με \displaystyle f(x) = \frac{(x-y)^2}{4 - (x+y)^2}.
Το μόνο αμφιλεγόμενο σημείο είναι το x = 1 (λόγω ανισότητας δυνάμεων), όπου ο παρονομαστής μηδενίζεται.

Σε αυτό το σημείο ισχύει y(x) =1, y'(x) = y''(x) = -1 οπότε, με l'Hospital, βρίσκουμε ότι \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 2. Έτσι, η f καθίσταται συνεχής θέτοντας f(1) = 2, οπότε είναι φραγμένη. Με εντελώς ανάλογη αντιμετώπιση χειριζόμαστε την περίπτωση y \leqslant 0.

Από το φραγμένο της f (και για τις δύο περιπτώσεις y \geqslant 0, y \leqslant 0) προκύπτει η ύπαρξη του ζητούμενου c.

(Αποδεικνύεται ότι η τιμή c=2 είναι βέλτιστη, αλλά αυτό δεν ζητείται).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2557
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με περιορισμό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Σεπ 20, 2017 5:17 am

Οφείλει δηλαδή να ισχύει -- ύστερα από την δουλειά του Δημήτρη και κάποιες προφανείς αναγωγές -- το εξής:

Αν z\geq 0, w\geq 0 και z^3+w^3=2, τότε 3(z^4+w^4)+2z^2w^2\leq 8.

Υποθέτω ότι το παραπάνω αποδεικνύεται με χρήση Λογισμού, χωρίς Λογισμό τι γίνεται; Δεν βλέπω κάτι...

[Από την z^3+w^3=2 ΔΕΝ έπεται η 4(z^4+w^4)\leq 8, έπεται όμως μία ελαφριά εξασθένηση της!]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ανισότητα με περιορισμό

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Σεπ 20, 2017 10:11 am

Γιώργο, δεν βρήκα κάτι "εντυπωσιακό" αλλά τουλάχιστον απέφυγα τον Λογισμό.

Περιοριζόμενος σε x, y \geqslant 0 (οι άλλες περιπτώσεις έπονται εύκολα), ομογενοποιώντας την ανισότητα (με c=2) και θέτοντας r \equiv y/x παίρνω το πολυώνυμο 32 (1+r^3)^4 - (3r^4 + 2r^2 + 3)^3 που πρέπει να αποδειχθεί μη αρνητικό για r \geqslant 0.

Το πολυώνυμο παραγοντοποιείται σε (r-1)^4 (5r^8 + 20r^7 - 4r^6 + 12r^5 + 30r^4 + 12r^3 - 4r^2 + 20r + 5), που είναι προφανώς μη αρνητικό για r \geqslant 0.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2012
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με περιορισμό

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Σεπ 20, 2017 1:46 pm

Το πρόβλημα προήλθε από αυτό.
viewtopic.php?f=59&t=56185
Το είχα λύσει παλιά και αποφάσισα να το βάλω με συγκεκριμένη τιμή για να δω άλλες λύσεις.
Η λύση του Δημήτρη είναι πολύ καλύτερη από την δική μου και πάρα πολύ καλύτερη από την επίσημη
του διαγωνισμού

Στην ουσία η λύση του Δημήτρη λύνει το εξής γενικότερο πρόβλημα.

Εστω p> 0 ,p\neq 1

Υπάρχει c_{p}> 0

ώστε για x,y\in \mathbb{R}

με \left | x \right |^{p}+\left | y \right |^{p}=2

ισχύει (x-y)^{2}\leq c_{p}\left | 4-(x+y)^{2} \right |.


Δεν γνωρίζω αν η λύση του Δημήτρη σε όλα τα pδίνει c_{p} best constant.
Αν θέλει ας γράψει κάτι.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ανισότητα με περιορισμό

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Σεπ 20, 2017 6:26 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Σεπ 20, 2017 1:46 pm
Δεν γνωρίζω αν η λύση του Δημήτρη σε όλα τα pδίνει c_{p} best constant.
Αν θέλει ας γράψει κάτι.
Απ' ό,τι φαίνεται, η απάντηση είναι θετική για 1 < p \leqslant 2 και αρνητική για p>2.

Για γενικό p > 1, το αντίστοιχο όριο στο x=1 είναι \displaystyle \frac{1}{p-1}. Καθώς το p αυξάνεται σε τιμές μεγαλύτερες του 2, η εστραμμένη έλλειψη που αντιστοιχεί στην ανισότητα (θέτοντας \displaystyle c = \frac{1}{p-1}) μετακομίζει στην εσωτερική περιοχή της καμπύλης |x|^p + |y|^p = 2 (όντας πάντα εφαπτόμενη σε αυτήν στο (1,1)) και το \displaystyle \frac{1}{p-1} γίνεται βέλτιστη σταθερά για την αντίστροφη ανισότητα.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης