Ανισότητα με περιορισμό
Συντονιστής: chris_gatos
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα με περιορισμό
Έστω . Τότε και θεωρούμε τη συνάρτηση με .
Το μόνο αμφιλεγόμενο σημείο είναι το (λόγω ανισότητας δυνάμεων), όπου ο παρονομαστής μηδενίζεται.
Σε αυτό το σημείο ισχύει οπότε, με l'Hospital, βρίσκουμε ότι . Έτσι, η καθίσταται συνεχής θέτοντας , οπότε είναι φραγμένη. Με εντελώς ανάλογη αντιμετώπιση χειριζόμαστε την περίπτωση .
Από το φραγμένο της (και για τις δύο περιπτώσεις ) προκύπτει η ύπαρξη του ζητούμενου .
(Αποδεικνύεται ότι η τιμή είναι βέλτιστη, αλλά αυτό δεν ζητείται).
Το μόνο αμφιλεγόμενο σημείο είναι το (λόγω ανισότητας δυνάμεων), όπου ο παρονομαστής μηδενίζεται.
Σε αυτό το σημείο ισχύει οπότε, με l'Hospital, βρίσκουμε ότι . Έτσι, η καθίσταται συνεχής θέτοντας , οπότε είναι φραγμένη. Με εντελώς ανάλογη αντιμετώπιση χειριζόμαστε την περίπτωση .
Από το φραγμένο της (και για τις δύο περιπτώσεις ) προκύπτει η ύπαρξη του ζητούμενου .
(Αποδεικνύεται ότι η τιμή είναι βέλτιστη, αλλά αυτό δεν ζητείται).
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με περιορισμό
Οφείλει δηλαδή να ισχύει -- ύστερα από την δουλειά του Δημήτρη και κάποιες προφανείς αναγωγές -- το εξής:
Αν , και , τότε .
Υποθέτω ότι το παραπάνω αποδεικνύεται με χρήση Λογισμού, χωρίς Λογισμό τι γίνεται; Δεν βλέπω κάτι...
[Από την ΔΕΝ έπεται η , έπεται όμως μία ελαφριά εξασθένηση της!]
Αν , και , τότε .
Υποθέτω ότι το παραπάνω αποδεικνύεται με χρήση Λογισμού, χωρίς Λογισμό τι γίνεται; Δεν βλέπω κάτι...
[Από την ΔΕΝ έπεται η , έπεται όμως μία ελαφριά εξασθένηση της!]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Ανισότητα με περιορισμό
Γιώργο, δεν βρήκα κάτι "εντυπωσιακό" αλλά τουλάχιστον απέφυγα τον Λογισμό.
Περιοριζόμενος σε (οι άλλες περιπτώσεις έπονται εύκολα), ομογενοποιώντας την ανισότητα (με ) και θέτοντας παίρνω το πολυώνυμο που πρέπει να αποδειχθεί μη αρνητικό για .
Το πολυώνυμο παραγοντοποιείται σε , που είναι προφανώς μη αρνητικό για .
Περιοριζόμενος σε (οι άλλες περιπτώσεις έπονται εύκολα), ομογενοποιώντας την ανισότητα (με ) και θέτοντας παίρνω το πολυώνυμο που πρέπει να αποδειχθεί μη αρνητικό για .
Το πολυώνυμο παραγοντοποιείται σε , που είναι προφανώς μη αρνητικό για .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα με περιορισμό
Το πρόβλημα προήλθε από αυτό.
viewtopic.php?f=59&t=56185
Το είχα λύσει παλιά και αποφάσισα να το βάλω με συγκεκριμένη τιμή για να δω άλλες λύσεις.
Η λύση του Δημήτρη είναι πολύ καλύτερη από την δική μου και πάρα πολύ καλύτερη από την επίσημη
του διαγωνισμού
Στην ουσία η λύση του Δημήτρη λύνει το εξής γενικότερο πρόβλημα.
Εστω
Υπάρχει
ώστε για
με
ισχύει .
Δεν γνωρίζω αν η λύση του Δημήτρη σε όλα τα δίνει best constant.
Αν θέλει ας γράψει κάτι.
viewtopic.php?f=59&t=56185
Το είχα λύσει παλιά και αποφάσισα να το βάλω με συγκεκριμένη τιμή για να δω άλλες λύσεις.
Η λύση του Δημήτρη είναι πολύ καλύτερη από την δική μου και πάρα πολύ καλύτερη από την επίσημη
του διαγωνισμού
Στην ουσία η λύση του Δημήτρη λύνει το εξής γενικότερο πρόβλημα.
Εστω
Υπάρχει
ώστε για
με
ισχύει .
Δεν γνωρίζω αν η λύση του Δημήτρη σε όλα τα δίνει best constant.
Αν θέλει ας γράψει κάτι.
Re: Ανισότητα με περιορισμό
Απ' ό,τι φαίνεται, η απάντηση είναι θετική για και αρνητική για .ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Σεπ 20, 2017 1:46 pmΔεν γνωρίζω αν η λύση του Δημήτρη σε όλα τα δίνει best constant.
Αν θέλει ας γράψει κάτι.
Για γενικό , το αντίστοιχο όριο στο είναι . Καθώς το αυξάνεται σε τιμές μεγαλύτερες του , η εστραμμένη έλλειψη που αντιστοιχεί στην ανισότητα (θέτοντας ) μετακομίζει στην εσωτερική περιοχή της καμπύλης (όντας πάντα εφαπτόμενη σε αυτήν στο ) και το γίνεται βέλτιστη σταθερά για την αντίστροφη ανισότητα.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες