Τι αριθμός είναι το Ρ(-1);;

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6765
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Τι αριθμός είναι το Ρ(-1);;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Αύγ 25, 2017 12:14 pm

Αν οι ρίζες του πολυωνύμου(με μιγαδικούς συντελεστές) \displaystyle{P(x)} με \displaystyle{P(x) = {x^\nu } + {\alpha _1}{x^{\nu  - 1}} + .... + {\alpha _{\nu-1}}{x^{}} + {\left( { - 1} \right)^\nu },\nu  \in {{\rm N}^ * }}, έχουν ίσα μέτρα, τότε το \displaystyle{P( - 1)} είναι

Α) Καθαρός μιγαδικός αριθμός
Β) Καθαρός φανταστικός αριθμός.
Γ) Πραγματικός αριθμός.
Δ) Από άλλον πλανήτη;

Να τεκμηριώσετε την απάντησή σας παρουσιάζοντας μια πλήρη λύση.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3825
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Τι αριθμός είναι το Ρ(-1);;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Αύγ 26, 2017 3:25 am

Αν r_1,r_2,\ldots, r_{\nu} οι ρίζες, από τύπους Vieta παίρνουμε r_1r_2\cdots r_{\nu}=1 κι έτσι παίρνοντας μέτρα και χρησιμοποιώντας την ισότητα των μέτρων των ριζών, όλες ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο. Άρα \overline{r_i}=\dfrac{1}{r_i} για κάθε i με i=1,2,\ldots, \nu.

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

\blacksquare Αν ο \nu είναι περιττός τότε από τους τύπους Vieta έχουμε:

\begin{aligned}r_1+r_2+\cdots r_{\nu} = -a_1 &\Leftrightarrow \overline{r_1+r_2+\cdots r_{\nu}}=-\overline{a_1} \Leftrightarrow \dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\cdots + \dfrac{1}{r_{\nu}} = -\overline{a_1} \\ &\Leftrightarrow \dfrac{r_2r_3\cdots r_{\nu} + r_1r_3\cdots r_{\nu} + r_1r_2\cdots r_{\nu-1}}{r_1r_2\cdots r_{\nu}} = -\overline{a_1} \\ &\stackrel{\text{Vieta}}{\Leftrightarrow} \dfrac {a_{\nu-1}}{1}=-\overline{a_1} \Leftrightarrow \boxed{a_{\nu-1}=-\overline{a_1}}\end{aligned}

Επίσης:

\begin{aligned}r_1r_2+r_1r_3+\cdots r_{\nu-1}r_{\nu} = a_2 &\Leftrightarrow \overline{r_1r_2+r_1r_3+\cdots r_{\nu-1}r_{\nu}}=\overline{a_2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{r_1r_2}+\dfrac{1}{r_1r_3}+\cdots + \dfrac{1}{r_{\nu-1}r_{\nu}} = \overline{a_2} \\ &\Leftrightarrow \dfrac{r_3r_4\cdots r_{\nu} + r_2r_4\cdots r_{\nu} + r_1r_2\cdots r_{\nu-2}}{r_1r_2\cdots r_{\nu}} = \overline{a_2} \\ &\stackrel{\text{Vieta}}{\Leftrightarrow} \dfrac {-a_{\nu-2}}{1}=\overline{a_2} \Leftrightarrow \boxed{a_{\nu-2}=-\overline{a_2}}\end{aligned}

Όμοια βγάζουμε ότι:

a_{\nu-3}=-\overline{a_3}
a_{\nu-4}=-\overline{a_4}
\vdots
a_{\frac{\nu+1}{2}}=a_{\frac{\nu-1}{2}}

Τελικά λοιπόν χρησιμοποιώντας τις παραπάνω σχέσεις:

\begin{aligned}\overline{P(-1)} &= \overline{(-1)^{\nu}+a_1(-1)^{\nu-1}+a_2(-1)^{\nu-2}+\cdots + a_{\nu-1}(-1)+(-1)^{\nu}} \\ &= (-1)^{\nu}+\overline{a_1}(-1)^{\nu-1}+\overline{a_2}(-1)^{\nu-2}+\cdots + \overline{a_{\nu-1}}(-1)+(-1)^{\nu} \\ &= (-1)^{\nu}-a_{\nu-1}(-1)^{\nu-1}-a_{\nu-2}(-1)^{\nu-2}-\cdots - a_{1}(-1)+(-1)^{\nu} \\ &= (-1)^{\nu}+a_{\nu-1}(-1)+a_{\nu-2}(-1)^{2}+\cdots + a_{1}(-1)^{\nu-1}+(-1)^{\nu} = P(-1) \end{aligned}

άρα P(-1)\in\mathbb{R} συνεπώς το Γ) είναι η σωστή απάντηση σε αυτή την περίπτωση.


\blacksquare Αν ο \nu είναι άρτιος τότε με όμοια διαδικασία με την παραπάνω βγάζουμε επίσης ότι P(-1)\in\mathbb{R}.

Edit (26/8/2017, 11:57): Έκανα διόρθωση

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1902
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τι αριθμός είναι το Ρ(-1);;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 26, 2017 11:03 am

n\equiv \nu

Εστω z_{i}=re^{ia_{i}},r> 0,i=1,2....n
οι ρίζες του πολυωνύμου.
όπου e^{ia}=\cos a+i\sin a

Επειδή το γινόμενο των ριζών είναι 1 προκύπτει ότι

r=1,\sum_{i=1}^{n}a_{i}=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}

Ειναι 1+e^{ia}=e^{\frac{ia}{2}}(e^{\frac{ia}{2}}+e^{-\frac{ia}{2}})=e^{\frac{ia}{2}}2\cos \frac{a}{2}

Εχουμε
P(-1)=\prod_{i=1}^{n}(-1-z_{i})=(-1)^{n}\prod_{i=1}^{n}(1+z_{i})=(-1)^{n}e^{\frac{i}{2}\sum_{i=1}^{n}a_{i}}2^{n}\prod_{i=1}^{n}\cos a_{i}=(-1)^{k}(-1)^{n}2^{n}\prod_{i=1}^{n}\cos a_{i}

γιατί e^{i\frac{2k\pi }{2}}=e^{ik\pi }=(-1)^{k}

Αρα P(-1)\in \mathbb{R}

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι

P(1)=(-1)^{n+k}2^{n}i^{n}\prod_{i=1}^{n}\sin \frac{a_{i}}{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης