Υπολογισμός παράστασης ριζών εξίσωσης(2)
Συντονιστής: chris_gatos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Υπολογισμός παράστασης ριζών εξίσωσης(2)
Αν οι ρίζες της εξίσωσης
τότε να υπολογίσετε την παράσταση:
.
τότε να υπολογίσετε την παράσταση:
.
Χρήστος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Υπολογισμός παράστασης ριζών εξίσωσης(2)
Με την ελπίδα μη λάθους λόγω ταχυτήτων...
Προφανώς η δεν είναι ρίζα της εξίσωσης. Επομένως για ισοδύναμα παίρνουμε , οπότε και με λίγη βοήθεια από Vieta , αφού έχουμε το αποτέλεσμα.
Προφανώς η δεν είναι ρίζα της εξίσωσης. Επομένως για ισοδύναμα παίρνουμε , οπότε και με λίγη βοήθεια από Vieta , αφού έχουμε το αποτέλεσμα.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Υπολογισμός παράστασης ριζών εξίσωσης(2)
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...chris_gatos έγραψε:Αν οι ρίζες της εξίσωσης
τότε να υπολογίσετε την παράσταση:
.
Θεωρώ την συνάρτηση . Είναι παραγωγίσιμη με ,
αφού το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα. Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Επίσης ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την στο .
Επομένως υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της με .
Όμως η είναι 1-1, ως γνησίως μονότονη.
Άρα η είναι μοναδική πραγματική ρίζα της παραπάνω εξίσωσης, η οποία έχει και δύο μιγαδικές τις .
Παραγοντοποιώντας με Horner προκύπτει :
.
Χρησιμοποιώντας τύπους Vieta έχουμε : και .
Αφού η είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης ισχύει : (1).
Από το Θ. Bolzano γνωρίζουμε ότι .
Άρα πολλαπλασιάζοντας την (1) επί έχουμε : (2) .
Επίσης πολλαπλασιάζοντας την (1) επί έχουμε : (3) .
Αντικαθιστώντας την (3) στην (2) έχουμε : (4) .
Στη συνέχεια αντικαθιστώντας την (1) στην (4) έχουμε αυτό που αναφέρει και ο κ. Σωτήρης Λουρίδας παραπάνω :
.
Επομένως ισχύει :
.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Re: Υπολογισμός παράστασης ριζών εξίσωσης(2)
Επειδή (ξανά)έπεσα στο post του φίλου Χρήστου και χωρίς να κομίζω γλαύκα εις Αθήνας, τουλάχιστον εδώ μέσα, συμπληρώνω τα παραπάνω και με άλλους τρόπους περισσότερο αυτοματοποιημένους, άρα όχι τόσο κομψούς όπως ο προηγούμενος, και εκτός σχολικής ύλης και για τις αποδείξεις των οποίων ας είναι καλά τα βιβλία Ανώτερης Άλγεβρας και το διαδίκτυο!.
Συμβολίζουμε με όπου οι ρίζες του πολυωνύμου και με τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα. Οπότε από τους τύπους των αθροισμάτων Newton θα έχουμε ότι:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Από την τελευταία έχουμε ότι το ζητούμενο είναι ίσο με . Επίσης από Vietta έχουμε ότι και τελικά
Συμβολίζουμε με όπου οι ρίζες του πολυωνύμου και με τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα. Οπότε από τους τύπους των αθροισμάτων Newton θα έχουμε ότι:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Από την τελευταία έχουμε ότι το ζητούμενο είναι ίσο με . Επίσης από Vietta έχουμε ότι και τελικά
Re: Υπολογισμός παράστασης ριζών εξίσωσης(2)
Διαφορετικά με τα, χωρίς απόδειξη, συμπεράσματα, χρησιμοποιώντας τους ίδιους συμβολισμούς όπως προηγούμενα επιπρόσθετα με συμβολίζουμε το πολυώνυμο που θα μας δίνεται και με το άθροισμα των αντίστροφων δυνάμεων των ριζών του
Συμπέρασμα πρώτο.
Το είναι ο συντελεστής του όρου που περιγράφει τον λόγο με τις δυνάμεις του κατά αύξουσα τάξη.
Συμπέρασμα δεύτερο.
Το είναι ο συντελεστής του όρου που περιγράφει τον λόγο με τις δυνάμεις του κατά αύξουσα τάξη.
Την τεχνική αυτή (για περισσότερες λεπτομέρειες γράψτε στο google π.χ sum of powers of roots (by Yue Kwok Choy) που αν δεν κάνω λάθος έχει ξανασυζητηθεί στο mathematica, η παραγοντοποιημένη μορφή του πολυωνύμου μέσω των ριζών του λογαριθμίζεται και χρησιμοποιείται ο τύπος του αθροίσματος απείρων όρων φθίνουσας γεωμετρικής προόδου για να δημιουργηθεί το ζητούμενο άθροισμα των δυνάμεων των ριζών της .
Έτσι λοιπόν συνοπτικά έχουμε ότι αν έχουμε οπότε από τον συντελεστή του διαπιστώνουμε ότι το ζητούμενο είναι το 16.
Ομοίως θα μπορούσαμε με χρήση του δεύτερου συμπεράσματος να βρούμε και το
Συμπέρασμα πρώτο.
Το είναι ο συντελεστής του όρου που περιγράφει τον λόγο με τις δυνάμεις του κατά αύξουσα τάξη.
Συμπέρασμα δεύτερο.
Το είναι ο συντελεστής του όρου που περιγράφει τον λόγο με τις δυνάμεις του κατά αύξουσα τάξη.
Την τεχνική αυτή (για περισσότερες λεπτομέρειες γράψτε στο google π.χ sum of powers of roots (by Yue Kwok Choy) που αν δεν κάνω λάθος έχει ξανασυζητηθεί στο mathematica, η παραγοντοποιημένη μορφή του πολυωνύμου μέσω των ριζών του λογαριθμίζεται και χρησιμοποιείται ο τύπος του αθροίσματος απείρων όρων φθίνουσας γεωμετρικής προόδου για να δημιουργηθεί το ζητούμενο άθροισμα των δυνάμεων των ριζών της .
Έτσι λοιπόν συνοπτικά έχουμε ότι αν έχουμε οπότε από τον συντελεστή του διαπιστώνουμε ότι το ζητούμενο είναι το 16.
Ομοίως θα μπορούσαμε με χρήση του δεύτερου συμπεράσματος να βρούμε και το
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Υπολογισμός παράστασης ριζών εξίσωσης(2)
Χαιρετίσματα από το ακριτικό Καστελλόριζο όπου κάνω σεμινάρια/ομιλίες και λοιπά περί γρίφων.
Στο θέμα μας: Υπάρχουν πολλές παρόμοιες με την παραπάνω άσκηση στα ποστ εδώ. Βλέπε ειδικά τις Ασκήσεις 9 και 12, αλλά και άλλες.
Στο θέμα μας: Υπάρχουν πολλές παρόμοιες με την παραπάνω άσκηση στα ποστ εδώ. Βλέπε ειδικά τις Ασκήσεις 9 και 12, αλλά και άλλες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης