Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
Συντονιστής: chris_gatos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
Ένα κέρασμα ένεκα της επιστροφής μου μετά από καιρό και όχι μόνο...
Έστω μια συνάρτηση ένα προς ένα και επί αλλά και παραγωγίσιμη.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιος ώστε:
Y.Γ: Το "επί" ίσως και να είναι πλεονασμός. Η πηγή μου έλεγε "bijective function".
Έστω μια συνάρτηση ένα προς ένα και επί αλλά και παραγωγίσιμη.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιος ώστε:
Y.Γ: Το "επί" ίσως και να είναι πλεονασμός. Η πηγή μου έλεγε "bijective function".
Χρήστος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
Είναι γνωστό ότι
Αλλά
Εστω
Εχουμε ότι για
Ολοκληρώνοντας την τελευταία παίρνουμε ότι
Η ιδιότητα Darboux της παραγώγου μας δίνει ότι υπάρχει
με που είναι το ζητούμενο.
Αλλά
Εστω
Εχουμε ότι για
Ολοκληρώνοντας την τελευταία παίρνουμε ότι
Η ιδιότητα Darboux της παραγώγου μας δίνει ότι υπάρχει
με που είναι το ζητούμενο.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
Καλησπέρα Σταύρο κι ευχαριστώ για την ενασχόληση!
Ίσως η λύση σου να περνάει μέσα από τη συνέχεια της πρώτης παραγώγου, στοιχείο που δεν το δίνω!
Από την άλλη διατηρώ επιφύλαξη γιατί κάποια στιγμή κάτι είχες αναφέρει για την παράγωγο και αν αυτή απαιτείται να είναι συνεχής ίταν ολοκληρώνεται μα...το έχω ξεχάσει. Αν μπορείς να μας το ξαναθυμίσεις θα σου ήμουν υπόχρεος.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Η άσκηση επιδέχεται και πιο απλή λύση.
Καλό βράδυ σε όλους!
Ίσως η λύση σου να περνάει μέσα από τη συνέχεια της πρώτης παραγώγου, στοιχείο που δεν το δίνω!
Από την άλλη διατηρώ επιφύλαξη γιατί κάποια στιγμή κάτι είχες αναφέρει για την παράγωγο και αν αυτή απαιτείται να είναι συνεχής ίταν ολοκληρώνεται μα...το έχω ξεχάσει. Αν μπορείς να μας το ξαναθυμίσεις θα σου ήμουν υπόχρεος.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Η άσκηση επιδέχεται και πιο απλή λύση.
Καλό βράδυ σε όλους!
Χρήστος Κυριαζής
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
Χρήστο γεια.
Η λύση μου δεν χρησιμοποιεί συνέχεια παραγώγου.
Αυτό που χρησιμοποιεί είναι το εξής
Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη με ανοικτό διάστημα τότε
το είναι διάστημα.
Το άλλο που ρωτάς έχει σχέση με το προηγούμενο και είναι
Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη με ανοικτό διάστημα και
η είναι μονότονη τότε η είναι συνεχής.
Η λύση μου δεν χρησιμοποιεί συνέχεια παραγώγου.
Αυτό που χρησιμοποιεί είναι το εξής
Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη με ανοικτό διάστημα τότε
το είναι διάστημα.
Το άλλο που ρωτάς έχει σχέση με το προηγούμενο και είναι
Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη με ανοικτό διάστημα και
η είναι μονότονη τότε η είναι συνεχής.
Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
Χρήστο, έχω ένα προβληματάκι.
Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, είναι συνεχής. Αν είναι συνεχής και 1-1, είναι γνησίως μονότονη. Αν είναι γνησίως μονότονη και επί του , έχει άπειρα όρια στα και έτσι δεν είναι συνεχής.
"bijective" σημαίνει πράγματι 1-1 και επί, αλλά υποψιάζομαι ότι ο σωστός όρος θα ήταν injective (1-1). Ούτως ή άλλως το "επί" δε χρειάζεται.
Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, είναι συνεχής. Αν είναι συνεχής και 1-1, είναι γνησίως μονότονη. Αν είναι γνησίως μονότονη και επί του , έχει άπειρα όρια στα και έτσι δεν είναι συνεχής.
"bijective" σημαίνει πράγματι 1-1 και επί, αλλά υποψιάζομαι ότι ο σωστός όρος θα ήταν injective (1-1). Ούτως ή άλλως το "επί" δε χρειάζεται.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
Σταύρο και Δημήτρη καλημέρα και καλή Κυριακή!
Σταύρο διαβάζοντας τη λύση σου θεώρησα προς το πρώτο βήμα πιυ κάνεις, χρησιμοποιείς τη γνωστή αντικατάσταση οπότε βάζεις στο ολοκλήρωμα και την παράγωγο, μετά παραγοντική κτλ..
Γι αυτό και το σχόλιο! Ευχαριστώ για την απαντηση.
Δημήτρη όντως δε χρειαζεται το επί, προσπάθησα να μεταφρασω κυριολεκτικά και μετέφερα αυτήν την αστοχία. Ευχαριστώ πολυ!
Ωστόσο υπάρχει λύση πιό απλή απο του Σταύρου. Και ειναι και ο λόγος που επέλεξα την άσκηση.
Σταύρο διαβάζοντας τη λύση σου θεώρησα προς το πρώτο βήμα πιυ κάνεις, χρησιμοποιείς τη γνωστή αντικατάσταση οπότε βάζεις στο ολοκλήρωμα και την παράγωγο, μετά παραγοντική κτλ..
Γι αυτό και το σχόλιο! Ευχαριστώ για την απαντηση.
Δημήτρη όντως δε χρειαζεται το επί, προσπάθησα να μεταφρασω κυριολεκτικά και μετέφερα αυτήν την αστοχία. Ευχαριστώ πολυ!
Ωστόσο υπάρχει λύση πιό απλή απο του Σταύρου. Και ειναι και ο λόγος που επέλεξα την άσκηση.
Χρήστος Κυριαζής
Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
Καλημέρα κύριε Χρήστο.
Σας πεθυμήσαμε. Μόλις χθες έλυνα μια άσκηση μιγαδικών που είχατε ανεβάσει (ΔΕΝ ξεχνιούνται οι μιγαδικοί). Στο θέμα θα ήθελα να ρωτήσω αν η συνθήκη 1-1 είναι αναγκαία.
Σας πεθυμήσαμε. Μόλις χθες έλυνα μια άσκηση μιγαδικών που είχατε ανεβάσει (ΔΕΝ ξεχνιούνται οι μιγαδικοί). Στο θέμα θα ήθελα να ρωτήσω αν η συνθήκη 1-1 είναι αναγκαία.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
Καλημέρα Μάριε.
Φυσικά και είναι αναγκαία.Αφου υπάρχει αντίστροφη.
Βάζω την λύση που θέλει ο Χρήστος.(Δεν θα γράψω λεπτομέρειες)
Θέτουμε
Θέτουμε
Το θεώρημα του Rolle για την στο
μας δίνει το ζητούμενο.
()
Φυσικά και είναι αναγκαία.Αφου υπάρχει αντίστροφη.
Βάζω την λύση που θέλει ο Χρήστος.(Δεν θα γράψω λεπτομέρειες)
Θέτουμε
Θέτουμε
Το θεώρημα του Rolle για την στο
μας δίνει το ζητούμενο.
()
Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
Σωστά απλα πέρα απο το οτι χρειάζεται για να μπει στο παιχνίδι ή αντίστροφη σκέφτομαι μήπως υπάρχει λύση αξιοποιώντας την 1-1 συνθήκη.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
Ο Σταύρος παράθεσε μια ακόμη πιο απλή λύση από αυτήν που είχα υπόψη!
Εγώ είχα λύση με το θεώρημα Cauchy για τη συνάρτηση
και τη στο
Υ.Γ Σταύρο εννοούσα αυτό το σημείο:
Εδώ κάπου χρησιμοποιείς στο ολοκλήρωμα την πρώτη παράγωγο ή κάνω λάθος;
Υ.Γ: Είναι καλό να μπαίνεις σε λεπτομέρειες Σταύρο, όχι εξωφρενικές φυσικά, γιατί πρόκειται περί γραπτής συνεννόησης!
Οι ισορροπίες εκεί είναι λεπτές.
Εγώ είχα λύση με το θεώρημα Cauchy για τη συνάρτηση
και τη στο
Υ.Γ Σταύρο εννοούσα αυτό το σημείο:
,ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Είναι γνωστό ότι
Εδώ κάπου χρησιμοποιείς στο ολοκλήρωμα την πρώτη παράγωγο ή κάνω λάθος;
Υ.Γ: Είναι καλό να μπαίνεις σε λεπτομέρειες Σταύρο, όχι εξωφρενικές φυσικά, γιατί πρόκειται περί γραπτής συνεννόησης!
Οι ισορροπίες εκεί είναι λεπτές.
Χρήστος Κυριαζής
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
,ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Είναι γνωστό ότι
Εδώ κάπου χρησιμοποιείς στο ολοκλήρωμα την πρώτη παράγωγο ή κάνω λάθος;
Γεια σου Χρήστο.
Το παραπάνω ισχύει με την προυπόθεση ότι η είναι συνεχής και 1-1.
Κάνοντας ένα σχήμα εύκολα φαίνεται.Αν κάποιος δεν πιστεύει στα σχήματα τότε δεν έχει παρά να πάρει αθροίσματα
Darboux και να το αποδείξει.
Η δεύτερη απόδειξη που έκανα είναι ίδια με την δική σου.
Απλά εγώ απέδειξα και το γενικευμένο Θεώρημα μέσης τιμής.(Μου ήταν τεχνικά αδύνατο να γράψω πολλά γιαυτό άφησα τις λεπτομέρειες)
Γενικά στις περισσότερες περιπτώσεις μπορεί να παρακαμφθεί μιας και η απόδειξη του είναι απλούστατη.
Θεωρώ ότι η πρώτη απόδειξη που έδωσα είναι πιο φυσιολογική.
Η άσκηση θα ήταν πιο βατή αν δινόταν η συνέχεια της παραγώγου.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης
Σταύρο καλησπέρα. Επετρεψέ μου να μη βλέπω με τα δεδομένα που δίνονται αυτό που γράφεις.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Είναι γνωστό ότι
Θα το ξαναψάξω.
Ευχαριστώ για την τροφή για γνώση.
Χρήστος Κυριαζής
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες