Σελίδα 1 από 1

Τριγωνομετρικό άθροισμα με ακέραιο μέρος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 09, 2017 12:27 pm
από Mihalis_Lambrou
Να βρεθούν οι τιμές των αθροισμάτων

\displaystyle{[1000\sin 1^o]  + [1000\sin 2^o] + [1000\sin 3^o]+ ...+ [1000\sin 359^o]}

\displaystyle{[1001\sin 1^o]  + [1001\sin 2^o] + [1001\sin 3^o]+ ...+ [1001\sin 359^o]}

\displaystyle{[1002\sin 1^o]  + [1002\sin 2^o] + [1002\sin 3^o]+ ...+ [1002\sin 359^o]}

όπου [x] το ακέραιο μέρος του x.

Σχόλιο: Ο λόγος που ζητώ το άθροισμα για τρεις διαφορετικούς συντελεστές θα φανεί από την λύση. Η άσκηση είναι αρκετά προσιτή αλλά χρειάζεται κάτι που δεν το μαθαίνει μεν ο μαθητής στο Σχολείο, όμως αυτό το κάτι πρέπει να είναι στην μαθηματική κουλτούρα του Καθηγητή. Γι' αυτό τοποθετώ την άσκηση στον φάκελο ΑΣΕΠ. Άλλωστε για άσκηση σε Μαθηματικές Ολυμπιάδες, είναι απλή.


.
Edit: Διόρθωσα τυπογραφικό

Re: Τριγωνομετρικό άθροισμα με ακέραιο μέρος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 09, 2017 2:48 pm
από Demetres
Έχουμε

\displaystyle{ 
\sum_{k=1}^{359} [n\sin(k^{\circ})] = \sum_{k=1}^{179} \left( [n\sin(k^{\circ})] + [-n\sin(k^{\circ})] \right)= -179 + a_n 
}

όπου a_n είναι το πλήθος των k \in \{1,2,\ldots,179\} για τα οποίο ο [n\sin(k^{\circ})] + [-n\sin(k^{\circ})] είναι ακέραιος.

Είναι γνωστό ότι για k \in \mathbb{Z}, αν ο \sin(k^{\circ}) είναι ρητός, τότε ανήκει στο σύνολο \{-1,-1/2,0,1/2,1\}.

Οπότε για n περιττό έχουμε a_n=1 (για k=90) ενώ για n άρτιο έχουμε a_n=3 (για k=60,90,120).

Άρα

\displaystyle{ 
\sum_{k=1}^{359} [n\sin(k^{\circ})] = \begin{cases} -178  & \text{\gr αν } n \text{ \gr περιττός} \\ -176 & \text{\gr αν } n \text{ \gr άρτιος} \end{cases} 
}

Re: Τριγωνομετρικό άθροισμα με ακέραιο μέρος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 09, 2017 3:56 pm
από Mihalis_Lambrou
Demetres έγραψε: Είναι γνωστό ότι για k \in \mathbb{Z}, αν ο \sin(k^{\circ}) είναι ρητός, τότε ανήκει στο σύνολο \{-1,-1/2,0,1/2,1\}.
Δημήτρη, ευχαριστώ.

Αυτό ακριβώς το σημείο ήθελα να επισημάνω γράφοντας
Mihalis_Lambrou έγραψε: χρειάζεται κάτι που δεν το μαθαίνει μεν ο μαθητής στο Σχολείο, όμως αυτό το κάτι πρέπει να είναι στην μαθηματική κουλτούρα του Καθηγητή.
Για όσους δεν γνωρίζουν, το παραπάνω συχνά διατυπώνεται ως εξής:

Ο αριθμός \sin N όπου N σε μοίρες στο α' τεταρτημόριο, είναι άρρητος εκτός από τις περιπτώσεις που όλοι ξέρουμε, δηλαδή τις \sin 0, \, \sin 30, \, \sin 90.