Πόσο κάνει;

#1

Υπολογίστε το

$\displaystyle{\tan \left(2\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}\right)}$

Tolaso J Kos · #2

matha έγραψε:Υπολογίστε το

$\displaystyle{\tan \left(2\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}\right)}$

Γεια σου Θάνο. Μία λύση με τριγωνομετρία και ανάλυση.

Λήμμα 1: Ισχύει ότι $\displaystyle{\tan \left ( 2\arctan x \right )= \frac{2x}{1-x^2}}$ διότι αν θέσουμε $\arctan x = \theta$ τότε $x= \tan \theta$ και κατά συνέπεια:
$\displaystyle{\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = \frac{2x}{1-x^2}}$ Λήμμα 2: $\displaystyle{\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}= \arctan \frac{1}{2}}$ διότι
$\displaystyle{\begin{aligned} \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} &=-i \log \left ( \frac{i}{\sqrt{5}} +\sqrt{1- \left (\frac{1}{\sqrt{5}} \right )^2 } \right ) \\ &=-i \log \left ( \frac{i}{\sqrt{5}} + \sqrt{\frac{4}{5}} \right ) \\ &= -i \log \left ( \frac{2+i}{\sqrt{5}} \right )\\ &=-i \log \left ( 2+i \right ) + \frac{i}{2} \log 5 \\ &= -i \left ( \frac{\log 5}{2} + i \arctan \frac{1}{2} \right ) + \frac{i \log 5}{2} \\ &= \arctan \frac{1}{2} \end{aligned}}$ Οπότε για την αρχική άσκηση έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \tan \left ( 2 \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} \right ) &\overset{(2)}{=} \tan \left ( 2 \arctan \frac{1}{2} \right ) \\ &\overset{(1)}{=} \frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1- \left ( \frac{1}{2} \right )^2} \\ &=\frac{1}{\frac{3}{4}} \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}}$ Θάνο, τι έχεις κατά νου;

maiksoul · #3

Καλησπέρα Θάνο . Μια προσπάθεια:
Άν $arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}=x\Rightarrow sinx=\frac{1}{\sqrt{5}} > 0$ τότε $cosx=\sqrt{1-sin^2x}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ και $tanx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{1}{2}$
Επομένως το ζητούμενο είναι :
$tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$

#4

Tolaso J Kos έγραψε:
Θάνο, τι έχεις κατά νου;

Σύμφωνα με το σχήμα, ζητάμε το

$\displaystyle{\tan 2x,}$ όπου προφανώς $\displaystyle{\tan x=\frac{1}{2}.}$

Άρα

$\displaystyle{\tan 2x=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{4}{3}.}$

Πόσο κάνει;

Πόσο κάνει;

Re: Πόσο κάνει;

Re: Πόσο κάνει;

Re: Πόσο κάνει;

Μέλη σε σύνδεση