Πρόταση πάνω στις συναρτήσεις(2)

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6879
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Πρόταση πάνω στις συναρτήσεις(2)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Ιούλ 29, 2016 8:47 pm

Έστω f: A\rightarrow B μια συνάρτηση με A μη κενό.
Να δείξετε ότι:
Η f είναι επί αν και μόνον αν υπάρχει συνάρτηση g: B\rightarrow A με f\circ g(x)=x,x \in B.


Χρήστος Κυριαζής
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Πρόταση πάνω στις συναρτήσεις(2)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Ιούλ 30, 2016 1:55 am

Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση \displaystyle{g:B\to A} τέτοια, ώστε \displaystyle{f\circ g(x)=x\,,\forall\,x\in B} .

Έστω \displaystyle{x\in B} . Τότε, \displaystyle{g(x)\in A} και \displaystyle{f(g(x))=x} .

Άρα, η \displaystyle{f} είναι επί του \displaystyle{B} .

Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι η \displaystyle{f} είναι επί του \displaystyle{B} . Έστω \displaystyle{y\in B} .

Υπάρχει τότε \displaystyle{x\in A} ώστε \displaystyle{y=f(x)} .

Αν λοιπόν για κάθε \displaystyle{y\in B} επιλέξουμε ένα \displaystyle{x=x(y)\in A} τέτοιο, ώστε \displaystyle{y=f(x)} ,

τότε ορίζεται συνάρτηση \displaystyle{g:B\to A} με \displaystyle{g(y)=x(y)} (όπως επιλέχθηκε πιο πάνω) και έχει την προφανή,

εξ' ορισμού, ιδιότητα \displaystyle{f\circ g(y)=y\,,\forall\,y\in B} .


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες