Συντελεστές γραμμικού συνδυασμού

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4286
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Συντελεστές γραμμικού συνδυασμού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Ιούλ 25, 2016 9:56 pm

Έστω τρίγωνο ABC και AH_1, BH_2, CH_3 τα ύψη του. Να βρείτε αριθμούς p,q,r ώστε
p\overrightarrow{AH_{1}}+q\overrightarrow{BH_{2}}+r\overrightarrow{CH_{3}}=0

Σχόλιο. Αν και υπάρχει σχετική θεωρία οι αυτοτελείς λύσεις είναι προτιμότερες.

Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συντελεστές γραμμικού συνδυασμού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Ιούλ 26, 2016 12:02 am

nsmavrogiannis έγραψε:Έστω τρίγωνο ABC και AH_1, BH_2, CH_3 τα ύψη του. Να βρείτε αριθμούς p,q,r ώστε
p\overrightarrow{AH_{1}}+q\overrightarrow{BH_{2}}+r\overrightarrow{CH_{3}}=\vec{0}
Πολλαπλασιάζουμε τη δοθείσα εσωτερικά με \displaystyle{\overrightarrow{BC}}, οπότε προκύπτει

\displaystyle{q\overrightarrow{BH_2}\cdot \overrightarrow{BC}+r\overrightarrow{CH_3}\cdot \overrightarrow{BC}=0}

άρα

\displaystyle{qh_b\cdot a\cdot \cos \angle {H_2BC}-rh_c\cdot a\cos \angle{H_3CB}=0}

δηλαδή

\displaystyle{qh_b ^2=rh_c ^2}

Η σχέση αυτή με χρήση του τύπου του εμβαδού γράφεται

\displaystyle{\boxed{\frac{q}{b^2}=\frac{r}{c^2}}}

Με πολλαπλασιασμό εσωτερικά επί \displaystyle{\overrightarrow{CA}} βρίσκουμε και

\displaystyle{\frac{p}{a^2}=\frac{r}{c^2}}}

οπότε τελικά βρίσκουμε

\displaystyle{\boxed{\frac{p}{a^2}=\frac{q}{b^2}=\frac{r}{c^2}}}.

Ως εκ τούτου, μπορούμε να πάρουμε

\displaystyle{p=a^2,q=b^2,r=c^2.}

Απομένει να αποδείξουμε τώρα ότι

\displaystyle{a^2\overrightarrow{AH_{1}}+b^2\overrightarrow{BH_{2}}+c^2\overrightarrow{CH_{3}}=\vec{0}.}

Ένας τρόπος ρουτίνας είναι με συντεταγμένες.



Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συντελεστές γραμμικού συνδυασμού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιούλ 26, 2016 12:32 am

Μπορεί να λυθεί με βάση αυτό
viewtopic.php?f=62&t=54962
αρκεί να σκεφθούμε τι γίνεται αν την κάθε απόσταση την πολλαπλασιάζουμε με ένα
θετικό αριθμό.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4286
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συντελεστές γραμμικού συνδυασμού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τρί Ιούλ 26, 2016 9:57 pm

matha έγραψε:
Απομένει να αποδείξουμε τώρα ότι

\displaystyle{a^2\overrightarrow{AH_{1}}+b^2\overrightarrow{BH_{2}}+c^2\overrightarrow{CH_{3}}=\vec{0}.}

Ένας τρόπος ρουτίνας είναι με συντεταγμένες.
Γεια σας
Νομίζω ότι αυτό το βήμα δεν είναι απαραίτητο, Διότι από την γραμμική εξάρτηση των AH_1, BH_2, CH_3 και την γραμμική ανεξαρτησία ανά δύο υπάρχουν μη μηδενικά p, q, r που ικανοποιούν την δοθείσα σχέση. Η διαδικασία που ακολουθεί ο Θάνος οδηγεί σε ένα ομογενές σύστημα με δύο εξισώσεις που η τριάδα p, q, r είναι λύση του. Βρίσκει \left( p,q,r\right) =k\left( a^{2},b^{2},c^{2}\right) για κάποιο k \neq 0. Αφού η τριάδα \left( p,q,r\right) επαληθεύει την αρχική σχέση το αυτό ισχύει και για κάθε τριάδα \frac{1}{k}\left( p,q,r\right) άρα και για την \left( a^{2},b^{2},c^{2}\right)

Μία άλλη αιτιολόγηση εκτός φακέλου: Η γραμμική απεικόνιση \varphi \left( p,q,r\right) =p\overrightarrow{AH_{1}}+q\overrightarrow{BH_{2}}+r\overrightarrow{CH_{3}} από τον \mathbb{R}^{3} στον \mathbb{R}^{2} έχει προφανώς εικόνα το \mathbb{R}^{2} επομένως μονοδιάστατο πυρήνα άρα όλες μη μηδενικές οι τριάδες p, q, r που ικανοποιούν την δοθείσα σχέση είναι πολλαπλάσια μιας οποιασδήποτε από αυτές λ.χ. της \left( a^{2},b^{2},c^{2}\right).


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12193
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συντελεστές γραμμικού συνδυασμού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιούλ 26, 2016 11:18 pm

nsmavrogiannis έγραψε:Έστω τρίγωνο ABC και AH_1, BH_2, CH_3 τα ύψη του. Να βρείτε αριθμούς p,q,r ώστε p\overrightarrow{AH_{1}}+q\overrightarrow{BH_{2}}+r\overrightarrow{CH_{3}}=0
Γενικότερα, έστω ότι οι AH_1, BH_2, CH_3 είναι τρεις σεβιανές (σημειώνω ότι αν ισχύει μία σχέση όπως η ζητούμενη, τότε υποχρεωτικά πρόκειται για σεβιανές: Στην περίπτωση αυτή κάποια τρία διανύσματα έχουν συνισταμένη 0, οπότε συντρέχουν).

Έστω ακόμη ότι τα H_1, \, H_2,\, H_3 χωρίζουν τις πλευρές σε λόγους u:1-u, \, v:1-v, \, w:1-w, αντίστοιχα, όπως στο σχήμα. Για ευκολία θα γράφουμε \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{a}, \, \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{b}, \, \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c}, \, οπότε \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c} =\overrightarrow { 0}

Είναι τότε

\overrightarrow {0} = p\overrightarrow{AH_{1}}+q\overrightarrow{BH_{2}}+r\overrightarrow{CH_{3}}

= p [(1-u)\overrightarrow{c} - u\overrightarrow{b} ]+ q [-v\overrightarrow{c} +(1-v)\overrightarrow{a} ]+  r[-w\overrightarrow{a} +(1-w)\overrightarrow{b} ]

Γράφοντας \overrightarrow{b} =- \overrightarrow{a}- \overrightarrow{c} η προηγούμενη γίνεται

[p-qv -r(1-w)]\overrightarrow{c} +  [pu+ q(1-v) -r]\overrightarrow{a} =0 \, (*)

Αλλά τα \overrightarrow{c} , \, \overrightarrow{a} είναι γραμμικά ανεξάρτητα οπότε ικανή και αναγκαία συνθήκη να συμβαίνει η (*) είναι οι συντελεστές να είναι μηδέν, δηλαδή

p-qv -r(1-w) = pu+ q(1-v) -r=0

Λύνοντας το γραμμικό αυτό σύστημα (π.χ. ως προς p,q συναρτήσει του r ) θα βρούμε

\displaystyle{\boxed {\frac {p}{1-w+wv}  = \frac {q}{1-u+uw} = \frac {r}{1-v+vu}  }}

ή αλλιώς (για τυχαίο t) \displaystyle{\boxed {p= (1-w+wv)t, \, q=(1-u+uw)t, \, r=(1-v+vu)t  }}.

Φιλικά,

Μιχάλης
Συνημμένα
cevianes.png
cevianes.png (12.08 KiB) Προβλήθηκε 834 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης