Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού -Πρωτεύον όρισμα

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6879
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού -Πρωτεύον όρισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Ιούλ 12, 2016 7:22 pm

Δίνεται ο μιγαδικός z=1+sin\theta-icos\theta, \theta \in [\frac{15\pi}{4},\frac{14\pi}{3}].

Να γράψετε το μιγαδικό z σε τριγωνομετρική μορφή και να βρείτε το πρωτεύον ορισμά του.

(Άσκηση που οφείλεται στον Σ.Βασιλόπουλο)


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12193
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού -Πρωτεύον όρισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 13, 2016 10:44 am

chris_gatos έγραψε:Δίνεται ο μιγαδικός z=1+sin\theta-icos\theta, \theta \in [\frac{15\pi}{4},\frac{14\pi}{3}].

Να γράψετε το μιγαδικό z σε τριγωνομετρική μορφή και να βρείτε το πρωτεύον ορισμά του.
Ως γνωστόν για τον μιγαδικό \displaystyle{a+ib} η τριγωνομετρική μορφή \displaystyle{r(\cos \phi + i \sin \phi) } έχει \displaystyle{r= \sqrt {a^2+b^2}} και \displaystyle{\tan \phi = \frac {b}{a}}.

Έτσι

\displaystyle{r= \sqrt {(1+\sin\theta)^2 + (- \cos \theta)^2} = \sqrt {1 + 2\sin\theta + \sin ^2 \theta +  \cos ^2 \theta} =  \sqrt {2 + 2\sin \theta}}.

Η παράσταση αυτή μπορεί να απλοποιηθεί περισσότερο (η κεντρική ιδέα ακολουθεί) αλλά και έτσι να το αφήσουμε είναι ανεκτό. Επίσης

\displaystyle{ \tan \phi = \frac { - \cos \theta}{1+\sin \theta} = -\frac { \sin \left (  \frac {\pi }{2}- \theta \right ) }{1+ \cos \left (  \frac {\pi }{2}- \theta \right )}=  -\frac {2 \sin \left (  \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2}  \right ) \cos \left (  \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2} \right ) }{2  \cos  ^2\left (  \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2} \right )}}

\displaystyle{=-\frac { \sin \left (  \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2}  \right )  }{ \cos  \left (  \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2} \right )}= -\tan \left (  \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2}  \right ) = \tan \left (  \frac {\theta}{2}  -  \frac {\pi }{4} \right ) }

Άρα \displaystyle{\phi =  \frac {\theta}{2}  -  \frac {\pi }{4} + k \pi }. Τώρα, επειδή το \displaystyle{ \frac {\theta}{2}  -  \frac {\pi }{4} είναι στο διάστημα \displaystyle{  \left [\frac{15\pi}{8} -  \frac {\pi }{4} ,\frac{7\pi}{3} -  \frac {\pi }{4}\right ]=  \left [\frac{13\pi}{8} ,\frac{25\pi}{12}\right ]} , το πρωτεύον όρισμα προκύπτει παίρνοντας k=-2 , οπότε \displaystyle{ \phi \in   \left[-\frac{\pi}{8} ,\frac{\pi}{3} \right ]\subseteq  \left ( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi}{2}\right ] }.

Αν θέλουμε απλοποίηση του r, ο παραπάνω τρόπος οδηγεί στο \displaystyle{r = 2\cos\left (  \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2} \right )}.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 3 επισκέπτες