Τριγωνομετρική εξίσωση

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Τριγωνομετρική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Παρ Αύγ 21, 2015 5:01 pm

Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\eta \mu^8 x+\sigma \upsilon \nu ^8 x=\frac{41}{128}}


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 21, 2015 6:00 pm

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\eta \mu^8 x+\sigma \upsilon \nu ^8 x=\frac{41}{128}}

Θέτω a = {\sin ^2}x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = {\cos ^2}x\,\,\mu \varepsilon \,\,\,a,b \in (0,1) .

Προφανώς a+b=1

Χρησιμοποιώ την ταυτότητα {A^2} + {B^2} = {(A + B)^2} - 2AB δύο φορές και έχω :

2{(ab)^2} - 4(ab) + 1 - \dfrac{{41}}{{128}} = 0 απ’ όπου βρίσκω : ab = \dfrac{3}{{16}} . Με \left\{ \begin{gathered} 
  a + b = 1 \hfill \\ 
  ab = \dfrac{3}{{16}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  a = \dfrac{1}{4} \hfill \\ 
  b = \dfrac{3}{4} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. ή συμμετρικά . Έτσι τελικά έχω τις απλές εξισώσεις :

\sin x =  \pm \dfrac{1}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\cos x =  \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} ή συμμετρικά

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8432
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 21, 2015 7:49 pm

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\eta \mu^8 x+\sigma \upsilon \nu ^8 x=\frac{41}{128}}
Καλησπέρα.

Η εξίσωση γράφεται:

\displaystyle{{(2{\sin ^2}x)^4} + {(2{\cos ^2}x)^4} = \frac{{41}}{8} \Leftrightarrow {(1 - \cos 2x)^4} + {(1 + \cos 2x)^4} = \frac{{41}}{8} \Leftrightarrow }

\displaystyle{{\cos ^4}2x + 6{\cos ^2}2x - \frac{{25}}{{16}} = 0 \Leftrightarrow co{s^2}2x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow } \boxed{\cos 2x =  \pm \frac{1}{2}}, που λύνεται κατά τα γνωστά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Παρ Αύγ 21, 2015 11:23 pm

Νίκο και Γιώργο, ευχαριστώ για τις λύσεις!


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης