Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1755
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Πέμ Φεβ 16, 2012 9:27 pm

Να δείξετε ότι είναι σταθερό το άθροισμα των αποστάσεων του τυχόντος εσωτερικού σημείου κανονικού τετραέδρου από τις έδρες του.

EDIT:Είχα ένα λάθος στην εκφώνηση, συγνώμη! Θάνο σε ευχαριστώ !
τελευταία επεξεργασία από pito σε Πέμ Φεβ 16, 2012 9:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Φεβ 16, 2012 9:51 pm

Μήπως ζητείται το αντίστοιχο του θεωρήματος του Viviani και θέλουμε το άθροισμα των αποστάσεων και όχι των τετραγώνων των αποστάσεων;


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6879
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Φεβ 16, 2012 9:53 pm

matha έγραψε:Μήπως ζητείται το αντίστοιχο του θεωρήματος του Viviani και θέλουμε το άθροισμα των αποστάσεων και όχι των τετραγώνων των αποστάσεων;
Κι εμένα αυτό μου ήρθε στο μυαλό!
Με το ισόπλευρο τριγωνάκι!!


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Φεβ 16, 2012 10:03 pm

pito έγραψε:Να δείξετε ότι είναι σταθερό το άθροισμα των αποστάσεων του τυχόντος εσωτερικού σημείου κανονικού τετραέδρου από τις έδρες του.

EDIT:Είχα ένα λάθος στην εκφώνηση, συγνώμη! Θάνο σε ευχαριστώ !
Τότε, η απόδειξη μεταφέρεται αυτούσια. Μόνο που τώρα, αντί να διαμελίσουμε τρίγωνο σε τρίγωνα, διαμελίζουμε το κανονικό τετράεδρο σε τετράεδρα:

Έστω \displaystyle{E=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}} το εμβαδόν ισοπλεύρου πλευράς \displaystyle{a}

\displaystyle{V=V_1+V_2+V_3+V_4 \Rightarrow \frac{1}{3}E\cdot h=\frac{1}{3}E\cdot d_1+\frac{1}{3}E\cdot d_2+\frac{1}{3}E\cdot hd_3+\frac{1}{3}E\cdot d_4,} άρα

\displaystyle{d_1+d_2+d_3+d_4=h,} όπου \displaystyle{h} το ύψος του τετραέδρου.


Μάγκος Θάνος
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2735
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Ιούλ 17, 2016 6:46 pm

pito έγραψε:Να δείξετε ότι είναι σταθερό το άθροισμα των αποστάσεων του τυχόντος εσωτερικού σημείου κανονικού τετραέδρου από τις έδρες του.

EDIT:Είχα ένα λάθος στην εκφώνηση, συγνώμη! Θάνο σε ευχαριστώ !
Καλησπέρα σας!

Το παραπάνω ισχύει και για κανονικά πολύεδρα.

Ένα σχετικό άρθρο είναι το

Abboud, Elias (2010). "On Viviani’s Theorem and its Extensions". College Mathematics Journal 43 (3)

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης