Πολυώνυμο!

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6102
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Πολυώνυμο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Σεπ 12, 2011 2:38 pm

Έστω το πολυώνυμο \displaystyle{P} με πραγματικούς συντελεστές και για το οποίο ισχύει

\displaystyle{P(x)+aP^{\prime}(x)\geq 0,} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R},}

όπου \displaystyle{a} μια πραγματική σταθερά.

Να αποδείξετε, ότι

\displaystyle{P(x)\geq 0,} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3832
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Σεπ 12, 2011 3:58 pm

Αν είναι a=0 τότε δεν έχουμε τίποτα να δείξουμε.

Αν a>0 τότε η ισότητα γράφεται \left(P(x)e^{\frac{1}{a}x}\right)^{\prime} \geq 0 οπότε η συνάρτηση g(x)=P(x)e^{\frac{1}{a}x} είναι αύξουσα.

Άρα g\Big((-\infty,+\infty)\Big)=\left[\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty} g(x),\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to +\infty}g(x)\right)=[0,+\infty)

Άρα τελικά g(x)\geq 0 για κάθε x\in\mathbb{R} οπότε P(x)\geq 0 για κάθε x\in\mathbb{R}

Αν a<0 τότε η ισότητα γράφεται \left(P(x)e^{\frac{1}{a}x}\right)^{\prime} \leq 0 οπότε η συνάρτηση g(x)=P(x)e^{\frac{1}{a}x} είναι φθίνουσα

Άρα g\Big((-\infty,+\infty)\Big)=\left[\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to +\infty} g(x),\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty}g(x)\right)=[0,+\infty)

Άρα τελικά g(x)\geq 0 για κάθε x\in\mathbb{R} οπότε P(x)\geq 0 για κάθε x\in\mathbb{R}.

Αλέξανδρος

EDIT: Ευχαριστώ τον GMANS για την υπόδειξη της αβλεψίας.


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10457
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμο!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 12, 2011 6:42 pm

matha έγραψε:Έστω το πολυώνυμο \displaystyle{P} με πραγματικούς συντελεστές και για το οποίο ισχύει

\displaystyle{P(x)+aP^{\prime}(x)\geq 0,} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R},}

όπου \displaystyle{a} μια πραγματική σταθερά.

Να αποδείξετε, ότι

\displaystyle{P(x)\geq 0,} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}.}
Αλλιώς: Από την δοθείσα συμπεραίνουμε ότι το P είναι άρτιου βαθμού (ή το μηδενικό πολυώνυμο). Άρα έχει ολικό ελάχιστο, έστω στο x_0, και βέβαια P{'}(x_0)=0. Άρα για κάθε x \in \mathbb R έχουμε

P(x)\ge P(x_0) = P(x_0) + aP{'}(x_0) \ge 0

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3832
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμο!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Σεπ 12, 2011 11:48 pm

Μετά από συζήτηση με το Θάνο (matha) νομίζω ότι πρέπει να είμαι λίγο πιο αναλυτικός σε κάποια σημεία της λύσης μου παραπάνω.

Είμαστε στην περίπτωση a>0 και αναλόγως εργαζόμαστε για την περίπτωση a<0

Αφού P(x)+aP^{\prime}(x)\geq 0 \ \ (1) άρα παίρνοντας όρια στο +\infty βλέπουμε ότι ο μεγιστοβάθμιος όρος του P(x) οφείλει να είναι θετικός διαφορετικά ερχόμαστε σε αντίθεση με την (1).

Άρα \displaystyle\lim_{\displaystyle x\to +\infty}g(x)=+\infty.

Επίσης για να βρούμε το όριο

\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty}g(x)=\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty}P(x)e^{\frac{1}{a}x}=\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty}\displaystyle\frac{P(x)}{e^{-\frac{1}{a}x}} ενός πολυωνύμου P(x) βαθμού n με μεγιστοβάθμιο συντελεστή τον a_n εφαρμόζουμε τον κανόνα L' Hospital n φορές για να πάρουμε τελικά

\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty}\displaystyle\frac{P(x)}{e^{-\frac{1}{a}x}}=\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty}\displaystyle\frac{n!a_n}{\left(-\displaystyle\frac{1}{a}\right)^ne^{-\frac{1}{a}x}}=0

Με λίγα λόγια ενώ έχουμε απροσδιοριστία με το όριο του πολυωνύμου P(x) να είναι -\infty και το όριο του εκθετικού e^{\frac{1}{a}x} να είναι 0, στο τέλος το εκθετικό "τρώει" το πολυώνυμο και το όριο πάει στο 0 κάτι το οποίο θεώρησα δεδομένο στην αρχή.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6765
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Πολυώνυμο!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Σεπ 13, 2011 3:01 pm

Καλησπέρα!
Κοιτάζοντας τη λύση του Αλέξανδρου δε με καλύπτει το κλειστό κάτω άκρο του συνόλου τιμών του πολυωνύμου.
Έχω την εντύπωση πως δε δικαιολογείται από κάποια πρόταση.
Για να είναι πλήρης η λύση αρκεί πιστεύω αρχικά να πούμε πως ''Παρατηρούμε πως το μηδενικό πολυώνυμο επαληθεύει,άρα γενικότερα \displaystyle{ 
P(x) \ge 0 
}''.
Ευχαριστώ.


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10457
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμο!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Σεπ 13, 2011 3:51 pm

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα!
Κοιτάζοντας τη λύση του Αλέξανδρου δε με καλύπτει το κλειστό κάτω άκρο του συνόλου τιμών του πολυωνύμου.
Έχω την εντύπωση πως δε δικαιολογείται από κάποια πρόταση.
Σωστά, αλλά νομίζω ότι αυτό που θέλει να πει ο Αλέξανδρος είναι ότι "στην χειρότερη περίπτωση το σύνολο τιμών είναι [0, κάτι)". Θα μπορούσε να έγραφε, ορθότερα, " \supseteq  [0, κάτι)". Πάντως το επόμενο βήμα στην απόδειξή του είναι σωστό, και η απόδειξη σώζεται.

Μ.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3832
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμο!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Σεπ 13, 2011 4:00 pm

Χρήστο έχεις δίκιο! Γενικά την απόδειξη μετά την έφτιαξα λιγάκι προσθέτωντας και μερικές ακόμη λεπτομέρειες που έλειπαν εξ' αρχής διότι την έγραψα βιαστικά (έφευγα απ' το σπίτι). Δεν έβαλα κλειστό το κάτω άκρο γιατί "αυτό χρειαζόμουν" αλλά διότι σκέφτηκα την περίπτωση ότι το 0 περιλαμβάνεται στο σύνολο τιμών όταν το P(x) είναι σταθερό και συγκεκριμένα το μηδενικό.

Θα έπρεπε πιο σωστά να διακρίνω περιπτώσεις για το P(x) από το να τα βάλω όλα στο ίδιο τσουβάλι. Να γράψω δηλαδή ότι στην περίπτωση μη μηδενικού πολυωνύμου P(x) το σύνολο τιμών της g(x) είναι το (0,+\infty) και στην περίπτωση μηδενικού P(x) το σύνολο τιμών της g είναι το μονοσύνολο \{0\}. Σε οποιαδήποτε λοιπόν περίπτωση ισχύει P(x)\geq 0.

Ευχαριστώ

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6765
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Πολυώνυμο!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Σεπ 13, 2011 4:04 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
chris_gatos έγραψε:Πάντως το επόμενο βήμα στην απόδειξή του είναι σωστό, και η απόδειξη σώζεται.

Μ.
Δεν αντιλέγω κι εγώ την ίδια λύση έκανα αλλά δεν άγγιζα με τίποτα το μηδέν παρά μόνο με αυτήν την πρόταση που ανέφερα.
Θεώρησα σωστό να το αναφέρω και έτσι έπραξα.


Χρήστος Κυριαζής
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2012
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πολυώνυμο!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Δεκ 23, 2017 7:53 pm

matha έγραψε:
Δευ Σεπ 12, 2011 2:38 pm
Έστω το πολυώνυμο \displaystyle{P} με πραγματικούς συντελεστές και για το οποίο ισχύει

\displaystyle{P(x)+aP^{\prime}(x)\geq 0,} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R},}

όπου \displaystyle{a} μια πραγματική σταθερά.

Να αποδείξετε, ότι

\displaystyle{P(x)\geq 0,} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}.}
Να σημειώσω ότι αν a\neq 0 τότε το συμπέρασμα είναι ότι

P(x)> 0 για x\in \mathbb{R}

Για την απόδειξη βλέπε στο viewtopic.php?f=61&t=60572


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης