Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

#1

Αν η μία πλευρά του τετραγώνου $\displaystyle{ A{\rm B}\Gamma \Delta }$ βρίσκεται πάνω στην ευθεία $\displaystyle{ y = 2x - 17 }$ ενώ οι άλλες δύο κορυφές του βρίσκονται επί της παραβολής $\displaystyle{ y = x^2 }$ ,τότε να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του εμβαδού του παραπάνω τετραγώνου...

KARKAR · #2

Έστω

, η μια κορυφή του τετραγώνου επί της παραβολής . Τότε : $y-k^{2}=2(x-k)\Leftrightarrow y=2x-2k+k^{2}$ ,

είναι η εξίσωση της

. Το

προκύπτει ως λύση του συστήματος : $y=2x-2k+k^{2} , y=x^{2}$ ,

και είναι το $B(2-k, (2-k)^{2})$ . Για να είναι το ABCD

τετράγωνο πρέπει : (AB)=(AD)

.

Αλλά $(AB)=\sqrt{(2-k)^{2}-k^{2})^{2}+(2-k-k)^{2}}=..2\sqrt{5}|1-k|$ , και $\displaystyle(AD)= \frac{\left|2k-k^{2}-17 \right|}{\sqrt{5}}$ .

Η επίλυση των δύο εξισώσεων που προκύπτουν δίνουν ως λύσεις τις : k=-7 , k=-1 , k=3 , k=9

Οι

αντιστοιχούν στην ευθεία του σχήματος που είναι η y=2x+3

, με

,

ενώ οι άλλες , αντιστοιχούν στην y=2x+63

, που δίνει εμβαδόν μεγαλύτερο (πόσο ?)

Γιώργος Απόκης · #3

KARKAR έγραψε:Έστω , η μια κορυφή του τετραγώνου επί της παραβολής . Τότε : $y-k^{2}=2(x-k)\Leftrightarrow y=2x-2k+k^{2}$ ,

είναι η εξίσωση της . Το προκύπτει ως λύση του συστήματος : $y=2x-2k+k^{2} , y=x^{2}$ ,

και είναι το $B(2-k, (2-k)^{2})$ . Για να είναι το τετράγωνο πρέπει : .

Αλλά $(AB)=\sqrt{(2-k)^{2}-k^{2})^{2}+(2-k-k)^{2}}=..2\sqrt{5}|1-k|$ , και $\displaystyle(AD)= \frac{\left|2k-k^{2}-17 \right|}{\sqrt{5}}$ .

Η επίλυση των δύο εξισώσεων που προκύπτουν δίνουν ως λύσεις τις :

Οι αντιστοιχούν στην ευθεία του σχήματος που είναι η , με ,

ενώ οι άλλες , αντιστοιχούν στην , που δίνει εμβαδόν μεγαλύτερο (πόσο ?)

Για το "μεγάλο" τετράγωνο:

Με τις τιμές k=-7 , k=9

προκύπτουν A(-7,49),B(9,81)

και άρα το εμβαδόν είναι

$\displaystyle{(ABCD)=(AB)^2=\sqrt{(9+7)^2+(81-49)^2}^2=16^2+32^2=256+1024=1280}$ τ.μ.

Γιώργος Απόκης · #4

Ένα γενικότερο ερώτημα νομίζω έχει ενδιαφέρον:

Δίνεται παραβολή (C):y=cx^2

και ευθεία $(\epsilon):y=ax+b (a\ne 0)$ οι οποίες δεν έχουν κοινά σημεία.

Αν η μία πλευρά τετραγώνου ABCD

βρίσκεται πάνω στην ευθεία ενώ οι άλλες δύο κορυφές του

βρίσκονται επί της παραβολής, τότε να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του εμβαδού του παραπάνω τετραγώνου.

Γιώργος Απόκης · #5

Επαναφορά, έξι χρόνια μετά!

Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

Re: Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

Re: Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

Re: Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

Re: Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

Μέλη σε σύνδεση