Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6765
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Ιουν 28, 2011 5:27 pm

Αν η μία πλευρά του τετραγώνου \displaystyle{ 
A{\rm B}\Gamma \Delta  
} βρίσκεται πάνω στην ευθεία \displaystyle{ 
y = 2x - 17 
} ενώ οι άλλες δύο κορυφές του βρίσκονται επί της παραβολής \displaystyle{ 
y = x^2  
},τότε να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του εμβαδού του παραπάνω τετραγώνου...


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9809
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 28, 2011 8:40 pm

Έστω A , η μια κορυφή του τετραγώνου επί της παραβολής . Τότε : y-k^{2}=2(x-k)\Leftrightarrow y=2x-2k+k^{2} ,

είναι η εξίσωση της AB . Το B προκύπτει ως λύση του συστήματος : y=2x-2k+k^{2} , y=x^{2} ,

και είναι το B(2-k, (2-k)^{2}) . Για να είναι το ABCD τετράγωνο πρέπει : (AB)=(AD) .

Αλλά (AB)=\sqrt{(2-k)^{2}-k^{2})^{2}+(2-k-k)^{2}}=..2\sqrt{5}|1-k| , και \displaystyle(AD)= \frac{\left|2k-k^{2}-17 \right|}{\sqrt{5}} .

Η επίλυση των δύο εξισώσεων που προκύπτουν δίνουν ως λύσεις τις : k=-7 , k=-1 , k=3 , k=9

Οι k=-1 , k=3 αντιστοιχούν στην ευθεία του σχήματος που είναι η y=2x+3 , με (ABCD)=80 ,

ενώ οι άλλες , αντιστοιχούν στην y=2x+63 , που δίνει εμβαδόν μεγαλύτερο (πόσο ?)
Συνημμένα
max parabola.png
max parabola.png (19.03 KiB) Προβλήθηκε 1092 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Ιουν 29, 2011 9:53 am

KARKAR έγραψε:Έστω A , η μια κορυφή του τετραγώνου επί της παραβολής . Τότε : y-k^{2}=2(x-k)\Leftrightarrow y=2x-2k+k^{2} ,

είναι η εξίσωση της AB . Το B προκύπτει ως λύση του συστήματος : y=2x-2k+k^{2} , y=x^{2} ,

και είναι το B(2-k, (2-k)^{2}) . Για να είναι το ABCD τετράγωνο πρέπει : (AB)=(AD) .

Αλλά (AB)=\sqrt{(2-k)^{2}-k^{2})^{2}+(2-k-k)^{2}}=..2\sqrt{5}|1-k| , και \displaystyle(AD)= \frac{\left|2k-k^{2}-17 \right|}{\sqrt{5}} .

Η επίλυση των δύο εξισώσεων που προκύπτουν δίνουν ως λύσεις τις : k=-7 , k=-1 , k=3 , k=9

Οι k=-1 , k=3 αντιστοιχούν στην ευθεία του σχήματος που είναι η y=2x+3 , με (ABCD)=80 ,

ενώ οι άλλες , αντιστοιχούν στην y=2x+63 , που δίνει εμβαδόν μεγαλύτερο (πόσο ?)

Για το "μεγάλο" τετράγωνο:

Με τις τιμές k=-7 ,  k=9 προκύπτουν A(-7,49),B(9,81) και άρα το εμβαδόν είναι

\displaystyle{(ABCD)=(AB)^2=\sqrt{(9+7)^2+(81-49)^2}^2=16^2+32^2=256+1024=1280} τ.μ.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Ιουν 29, 2011 9:54 am

Ένα γενικότερο ερώτημα νομίζω έχει ενδιαφέρον:

Δίνεται παραβολή (C):y=cx^2 και ευθεία (\epsilon):y=ax+b (a\ne 0) οι οποίες δεν έχουν κοινά σημεία.

Αν η μία πλευρά τετραγώνου ABCD βρίσκεται πάνω στην ευθεία ενώ οι άλλες δύο κορυφές του

βρίσκονται επί της παραβολής, τότε να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του εμβαδού του παραπάνω τετραγώνου.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Ελαχιστο εμβαδό τετραγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Απρ 04, 2017 10:49 pm

Επαναφορά, έξι χρόνια μετά! :)


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης