Μέτρο Μιγαδικού 2

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 782
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Μέτρο Μιγαδικού 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τρί Απρ 12, 2022 1:51 pm

Για ποια τιμή του μιγαδικού \displaystyle z ελαχιστοποιείται η Παράσταση

\displaystyle \mid z\mid^{2}+\mid z-3\mid^{2}+\mid z-i\mid^{2}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14455
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέτρο Μιγαδικού 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 12, 2022 3:03 pm

mick7 έγραψε:
Τρί Απρ 12, 2022 1:51 pm
Για ποια τιμή του μιγαδικού \displaystyle z ελαχιστοποιείται η Παράσταση

\displaystyle \mid z\mid^{2}+\mid z-3\mid^{2}+\mid z-i\mid^{2}
Ισοδύναμα για z=x+iy, θέλουμε το ελάχιστο της

 (x^2+y^2)+[(x-3)^2+y^2]+[x^2+(y-1)^2]= (3x^2-6x+9)+(3y^2-2y+1).

Τα x και y είναι χωριστά, οπότε βρίσκουμε τα ελάχιστα των δύο τριωνύμων χωριστά. Το πρώτο ελαχιστοποιείται για x= 1 και το δεύτερο για y=1/3 (άμεσο). Και λοιπά.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2212
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Μέτρο Μιγαδικού 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τρί Απρ 12, 2022 9:54 pm

mick7 έγραψε:
Τρί Απρ 12, 2022 1:51 pm
Για ποια τιμή του μιγαδικού \displaystyle z ελαχιστοποιείται η Παράσταση

\displaystyle \mid z\mid^{2}+\mid z-3\mid^{2}+\mid z-i\mid^{2}
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Απρ 12, 2022 3:03 pm
mick7 έγραψε:
Τρί Απρ 12, 2022 1:51 pm
Για ποια τιμή του μιγαδικού \displaystyle z ελαχιστοποιείται η Παράσταση

\displaystyle \mid z\mid^{2}+\mid z-3\mid^{2}+\mid z-i\mid^{2}
Ισοδύναμα για z=x+iy, θέλουμε το ελάχιστο της

 (x^2+y^2)+[(x-3)^2+y^2]+[x^2+(y-1)^2]= (3x^2-6x+9)+(3y^2-2y+1).

Τα x και y είναι χωριστά, οπότε βρίσκουμε τα ελάχιστα των δύο τριωνύμων χωριστά. Το πρώτο ελαχιστοποιείται για x= 1 και το δεύτερο για y=1/3 (άμεσο). Και λοιπά.
Μιχάλη καλησπέρα...

Μια άλλη θεώρηση:

Εργαζόμαστε στο σχήμα:
Μέτρο μιγαδικού αριθμού 1.png
Μέτρο μιγαδικού αριθμού 1.png (21.45 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές
Αν

\displaystyle{S=\left|{z} \right |^2+\left |{z-i} \right |^2+\left |{z-3} \right |^2 \  \ (1) }

Τότε:

\displaystyle{S =(MO)^2+(MA)^2+(MB)^2  \ (2) }

Όμως από γνωστό θεώρημα είναι:

\displaystyle{(MO)^2+(MA)^2+(MB)^2=3(MG)^2+\frac{1}{3}((OA)^2+(OB)^2+(AB)^2)  }

ή ακόμα:

\displaystyle{S=3(MG)^2+\frac{1}{3}(1^2+3^2+10)=3(MG)^2+\frac{1}{3}(20)=3(MG)^2+\frac{20}{3} \  \ (4) }

Από την τελευταία σχέση (4), η παράσταση \displaystyle{S} ελαχιστοποιείται όταν το σημείο \displaystyle{M} συμπέσει με το

σημείο \displaystyle{G}, δηλαδή με το κέντρο βάρους του τριγώνου \displaystyle{OAB}.

Όμως οι συντεταγμένες του σημείου \displaystyle{G} είναι προφανώς οι

\displaystyle{x=1, \  \ y=\frac{1}{3}}

Άρα ο ζητούμενος μιγαδικός που ελαχιστοποιεί την παράσταση \displaystyle{S} είναι ο

\displaystyle{ z=1+\frac{1}{3}i }

Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης