Προσδιορισμός παραμέτρων

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6913
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Προσδιορισμός παραμέτρων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Απρ 01, 2021 12:19 am

Δίνεται η συνάρτηση

f(x)= \begin{cases} \frac{\left | e^x-1-x-\frac{x^2}{2} \right |^\alpha}{x}, \ x \ne 0 \\ b, \ x=0\end{cases}

όπου a, b \in \mathbb{R}}

\bigstar Για ποιές τιμές των παραμέτρων a, b η συνάρτηση είναι συνεχής στο x_{0}=0

\bigstar \bigstar Για ποιές τιμές των παραμέτρων a, b η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}=0


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 386
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Προσδιορισμός παραμέτρων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Απρ 01, 2021 4:37 pm

Επειδή η e^x είναι αναλυτική στο \mathbb{R} παίρνουμε |e^x-1-x- \frac{x^2}{2}| = O(|x|^3), οπότε |f(x)|= O(|x|^{3a-1}) και αυτό δείχνει ότι αν a> \frac{1}{3} τότε το όριο κάνει 0, οπότε αναγκαστικά b=0, για να είναι συνεχής.
Τώρα αν a\leq \frac{1}{3}, τότε f(x) = \frac{|x^3(\frac{1}{6} + \frac{x}{4!} +...)|^a}{x} = sign(x) |x|^{3a-1}|\frac{1}{6} + \frac{x}{4!} +...|^a. Οπότε το όριο δεν υπάρχει στο \mathbb{R}.
Άρα τελικα a > \frac{1}{3} και b=0.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης