Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6911
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Φεβ 14, 2021 1:07 am

Έστω a, b, c οι ρίζες της εξίσωσης x^3-x-1=0.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13158
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 14, 2021 8:17 am

chris_gatos έγραψε:
Κυρ Φεβ 14, 2021 1:07 am
Έστω a, b, c οι ρίζες της εξίσωσης x^3-x-1=0.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}
Θέτουμε t= \dfrac {1-x}{1+x}\,(*) , όπου x ρίζα της δοθείσας τριτοβάθμιας. Λύνοντας την (*) ως προς x θα βρούμε x= \dfrac {1-t}{1+t}, οπότε θέτοντας στην τριτοβάθμια ισχύει

\displaystyle{\left ( \dfrac {1-t}{1+t}\right )^3- \dfrac {1+t}{1-t} -1 =0}

Πολλαπλασιάζοντας επί (1-t)^3 θα βρούμε μετά τις πράξεις t^3-t^2+7t+1=0. Από Vieta το άθροισμα των ριζών της τελευατίας είναι 1. Αλλά από την (*) οι ρίζες της τελευταίας είναι οι \displaystyle{  \dfrac {1-a}{1+a}, \,  \dfrac {1-b}{1+b},\,  \dfrac {1-c}{1+c}}. Συνεπώς

\displaystyle{  \dfrac {1-a}{1+a}+  \dfrac {1-b}{1+b}+  \dfrac {1-c}{1+c}=1}


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4023
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Κυρ Φεβ 14, 2021 8:51 am

chris_gatos έγραψε:
Κυρ Φεβ 14, 2021 1:07 am
Έστω a, b, c οι ρίζες της εξίσωσης x^3-x-1=0.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}
Λίγο διαφορετικά.

Η παράσταση A είναι ίση με A=-3+2\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right) = -3+2\dfrac{(1+a)(1+b)+(1+b)(1+c)+(1+c)(1+a)}{(1+a)(1+b)(1+c)}.

Αφού P(x)=x^3-x-1=(x-a)(x-b)(x-c) άρα -P(-1)=1=(1+a)(1+b)(1+c) οπότε

A=-3+2\left[3+2(a+b+c)+ab+bc+ca\right]=-3+2\left(3+2\cdot 0 -1)=1

όπου με τη βοήθεια των τύπων Vieta βρήκαμε ότι a+b+c=0 και ab+bc+ca=-1.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13158
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 14, 2021 9:23 am

Θα μπορούσαμε να λύσουμε την άσκηση χωρίς απολύτως κανένα τέχνασμα αλλά οι πράξεις είναι λίγο παραπάνω (όχι όμως απαγορευτικές). Απλά, προσθέτοντας τα κλάσματα, θα βρούμε ότι η δοθείσα παράσταση ισούται με

\displaystyle{\dfrac {-3abc-(ab+ac+bc)+(a+b+c)+3}{abc+(ab+ac+bc)+(a+b+c)+1}}

το οποίο είναι έτοιμα για Vieta. Και λοιπά.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2008
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Φεβ 14, 2021 9:35 am

chris_gatos έγραψε:
Κυρ Φεβ 14, 2021 1:07 am
Έστω a, b, c οι ρίζες της εξίσωσης x^3-x-1=0.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}
Θέτουμε

1+a=t,1+b=w,1+c=u,

΄Αρα a=t-1,(t-1)^{3}=t\Leftrightarrow t^{3}-3t^{2}+2t-1=0,(*)


Οπότε η παράσταση γράφεται


\dfrac{2-t}{t}+\dfrac{2-w}{w}+\dfrac{2-u}{u}=

     2(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{w}+\dfrac{1}{u})-3= 


         2.\dfrac{wu+tu+tw}{twu}-3=2.\dfrac{2}{1}-3=1

στην τελευταία σχέση χρησιμοποιήθηκαν οι τύποι Vietta για την εξίσωση

x^{3}-3x^{2}+2x-1=0 με ρίζες t,w,u


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Φεβ 14, 2021 6:51 pm

Διαφορετικά:

Παρατηρώ ότι \displaystyle  \frac{1-a}{1+a} = 1 - \frac{2a}{1+a} = 1 - \frac{2a}{a^3} = 1 - \frac{2}{a^2}

Έχουμε 1 = a^3 - a, άρα \displaystyle  \frac{1}{a} = a^2 - 1 και \displaystyle  \frac{1}{a^2} = a - \frac{1}{a} = a-a^2+1

Άρα

\displaystyle  \frac{1-a}{1+a} = 1 - 2(a - a^2 + 1) = 2a^2 - 2a-1

Η ζητούμενη παράσταση ισούται με

\displaystyle  2(a^2+b^2+c^2) - 2(a+b+c) - 3 = 2[(a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)] - 2(a+b+c) - 3 = 2[0+2]-0-3=1


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5591
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Φεβ 15, 2021 9:56 am

Και μόνο για πλουραλισμό, την παρέα, και το χιόνι εδώ στο κλεινόν άστυ:

\displaystyle{\sum {\frac{{1 - a}}{{1 + a}}}  = \frac{3}{{abc}} + \left( {\sum {\frac{1}{a}} } \right)\left( {\sum {\frac{1}{{{a^2}}}}  - \sum {\frac{1}{{ab}}} } \right) - \sum {\frac{1}{{{a^2}}}}  =\displaystyle{3 - \frac{{{{\left( {\sum {ab} } \right)}^2} - 2abc\sum a }}{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} + \frac{{\sum a }}{{abc}} - \frac{{{{\left( {\sum {ab} } \right)}^2} - 2abc\sum a }}{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} = 3 - 2 = 1.}


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες