Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Ιούλ 08, 2020 11:14 pm

Θεωρούμε τέσσερα σπίτια πάνω στις κορυφές ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ με AB=52m και
B\Gamma=30m. Στο κέντρο του ορθογωνίου όπου υπάρχει ένα πηγάδι τοποθετούμε
μια αντλία νερού που παρέχει νερό στα σπίτια αυτά και θέλουμε να τη συνδέσουμε με σωλήνες
που έχουν συγκεκριμενο κόστος ( τιμή/μέτρο σωλήνα), με τα σπίτια.
Ισχυρίζόμαστε ότι το ελάχιστο κόστος το πετυχαίνουμε όταν έχουμε την τοποθέτηση των σωλήνων
κατά μήκος των διαγωνίων.
Χαρακτηρίστε τον προηγούμενο ισχυρισμό ως αληθή ή ψευδή, αποδεικνύοντας την απάντησή σας.
Η πηγή "Μαθηματικά για διαγωνισμούς" Σ.Λουρίδας, Κ.Σάλαρης, Α.Τριανταφύλλου.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 687
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Ιούλ 09, 2020 12:01 am

chris_gatos έγραψε:
Τετ Ιούλ 08, 2020 11:14 pm
Θεωρούμε τέσσερα σπίτια πάνω στις κορυφές ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ με AB=52m και
B\Gamma=30m. Στο κέντρο του ορθογωνίου όπου υπάρχει ένα πηγάδι τοποθετούμε
μια αντλία νερού που παρέχει νερό στα σπίτια αυτά και θέλουμε να τη συνδέσουμε με σωλήνες
που έχουν συγκεκριμενο κόστος ( τιμή/μέτρο σωλήνα), με τα σπίτια.
Ισχυρίζόμαστε ότι το ελάχιστο κόστος το πετυχαίνουμε όταν έχουμε την τοποθέτηση των σωλήνων
κατά μήκος των διαγωνίων.
Χαρακτηρίστε τον προηγούμενο ισχυρισμό ως αληθή ή ψευδή, αποδεικνύοντας την απάντησή σας.
Η πηγή αργότερα, μετά την ενασχόλησή σας.
Αν τοποθετήσουμε σωλήνες στη μεσοπαράλληλη των AB,CD και στις πλευρές AD,BC τότε έχουμε χαμηλότερο κόστος. Άρα ψευδής.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9451
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 09, 2020 10:56 am

Ας το δούμε και σχηματικά.
Α ή Ψ.png
Α ή Ψ.png (12.42 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές
\displaystyle  \bullet Αν τοποθετήσουμε τους σωλήνες κατά μήκος των διαγωνίων θα χρειαστούμε συνολικό μήκος σωλήνων: \displaystyle L = 4OA = 4\sqrt {{{26}^2} + {{15}^2}}  = 4\sqrt {901}  \simeq 120m

\displaystyle  \bullet Αν οι σωλήνες τοποθετηθούν στην MN (M, N μέσα των AD, BC) θα χρειαστούμε συνολικό μήκος σωλήνων: \displaystyle l = MN + 2AD = 52 + 60 = 112m

Άρα ο ισχυρισμός είναι ψευδής.


Παρατήρηση: Με AB=52m, BC=39m έχουμε το ίδιο ακριβώς μήκος σωλήνων και στις δύο περιπτώσεις. Σε επόμενη ανάρτηση θα γράψω την γενική περίπτωση.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9451
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 09, 2020 2:26 pm

Έστω AB=2a, BC=2b.
Α ή Ψ.β.png
Α ή Ψ.β.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές
\displaystyle  \bullet Κατά μήκος των διαγωνίων: \displaystyle {L^2} = 16({a^2} + {b^2})

\displaystyle  \bullet Κατά μήκος της μεσοπαράλληλης: \displaystyle {l^2} = {(2a + 4b)^2}

\displaystyle {L^2} - {l^2} = 4a(3a - 4b) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
L > l,a > \dfrac{{4b}}{3}\\ 
\\ 
L = l,a = \dfrac{{4b}}{3}\\ 
\\ 
L < l,a < \dfrac{{4b}}{3} 
\end{array} \right.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4654
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Ιούλ 09, 2020 7:16 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Με 104 m σωλήνες γίνεται η δουλειά και περισσεύουν και λίγα εκατοστά. Θέλει όμως πιο πολλές συνδέσεις.


Προτείνω μια γνωστή μάρκα για τις συνδέσεις.

Νομίζω Steiner λέγεται.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2797
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Ιούλ 09, 2020 7:21 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Πέμ Ιούλ 09, 2020 7:16 pm
Καλησπέρα σε όλους.

Με 104 m σωλήνες γίνεται η δουλειά και περισσεύουν και λίγα εκατοστά. Θέλει όμως πιο πολλές συνδέσεις.


Προτείνω μια γνωστή μάρκα για τις συνδέσεις.

Νομίζω Steiner λέγεται.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιούλ 09, 2020 7:41 pm

Δείτε π.χ. εδώ


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2797
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Ιούλ 09, 2020 10:08 pm

Ωραίες αναμνήσεις από την διδασκαλία μου στις ΗΠΑ μου φέρνει το θέμα αυτό! Πράγματι, στο "λίγο απ' όλα για όλους" μάθημα "Mathematics in the Contemporary World" (ή κάτι τέτοιο) το δέντρο Steiner και το σημείο Torricelli ήταν η μοναδική μου ευκαιρία να συζητήσω κάτι σχετικό με Ευκλείδεια Γεωμετρία!

Αν δεν επιμένουμε σε πλήρη απόδειξη, το παρόν μπορεί να τεθεί και ως θέμα Λογισμού κατά το συνημμένο, πιο συγκεκριμένα θέμα ελαχιστοποίησης της f(x)=2x+4\sqrt{(a-x)^2+b^2}. (Θέλει λίγη διερεύνηση, το ελάχιστο συνολικό μήκος που προκύπτει είναι το 2a+\dfrac{6b}{\sqrt{3}} ... που για a=26, b=15 δίνει περίπου 103,97 ... όπως ήδη προέβλεψε προτρέχων ο Γιώργος Ρίζος.)

steiner-min.png
steiner-min.png (4.7 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
kkala
Δημοσιεύσεις: 99
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Παρ Ιούλ 10, 2020 5:04 pm

Έχομε λοιπόν τρείς τρόπους σύνδεσης κατά τα παραπάνω.
1. Διαγωνίως (#1, chris-gatos), συνολικό μήκος L=120 m
2. Μεσοπαράλληλος ΜΝ (#3, george visvikis), L=112 m
3. Ελαχιστοποίηση μήκους (Steiner κλπ) (#6, Γιώργος Ρίζος και #8, gbaloglou), L=104 m
Ε'ιναι πιθανό (όχι όμως διευκρινισμένο) ότι καθένα από τα 4 σπίτια μπορεί να χρειαστεί κάποτε την ίδια στιγμή να καταναλώσει την μέγιστη παροχή Q (σε m3/h, παροχή αντλίας 4Q). Τότε θα χρειασθεί να περάσει η εξής παροχή νερού:
1. Q σε όλα τα τμήματα των διαγωνίων σωλήνων (#1).
2. 2Q στη μεσοπαράλληλο ΜΝ. Q στα κάθετα τμήματα των σωλήνων (#3).
3. 2Q στο τμήμα μεταξύ (-χ,0) και (χ.0). Q στα άλλα τμήματα των σωλήνων (#6, #8).
Δεχόμενοι ίση μέγιστη ταχύτητα σε όλους τους σωλήνες, τα τμήματα των εναλλακτικών (2) και (3) με παροχή 2Q χρειάζονται διπλάσια διατομή σωλήνων (πράγμα που αυξάνει το κόστος). Εξάλλου η διαφορά συνολικού μήκους σωλήνα δεν είναι σημαντική μεταξύ των τριών περιπτώσεων (15%). Προσανατολισμός στην εναλλακτική (1) φαίνεται ενδεδειγμένος, που είναι και η απλούστερη.
Σημ. Χρειάζονται βέβαια πρόσθετα στοιχεία και εργασία για να εκφρασθούν τα παραπάνω σε μαθηματική γλώσσα με ακρίβεια.
Πρόσθετη σημείωση: Ο τελικός μελετητής του έργου είναι πολύ χρήσιμο να γνωρίζει και τις εναλλακτικές (#3, #6&8), ιδίως για ορθογώνιο αρκετά μεγαλύτερων διαστάσεων.


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης