Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

#1

Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A}=90^\circ$ )
το ύψος $A\Delta$ , το μέσο

του $\Gamma\Delta$ και
σημείο

στην προέκταση του

, ώστε

.
Να αποδείξετε ότι $Z\Delta$ ,

κάθετα.

#2

chris_gatos έγραψε: Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A}=90^\circ$ )
το ύψος $A\Delta$ , το μέσο του $\Gamma\Delta$ και
σημείο στην προέκταση του , ώστε .
Να αποδείξετε ότι $Z\Delta$ , κάθετα.

Με Αναλυτική είναι εύκολη: Αρχή των αξόνων το

και $B(b,0),\,C(0,c)$ οπότε Z(2b,0)

. To

το βρίσκουμε από την τομή των

$\displaystyle{BC: \, y= -\dfrac {c}{b} (x-b)}$ και $AD: \, y=\dfrac {b}{c}x$ .

Θα βρούμε $\displaystyle{D\left ( \dfrac { bc^2}{b^2+c^2} , \dfrac { b^2c}{b^2+c^2}\right ) }$ και άρα $\displaystyle{E \left ( \dfrac { bc^2}{2(b^2+c^2) }, \dfrac { c(2b^2+c^2)}{2(b^2+c^2) }\right )}$ .

Οι κλίσεις των $ZD,\, AE$ είναι τώρα άμεσες, και εύκολα ελέγχουμε την ζητούμενη καθετότητα (δεν το έκανα, αλλά είναι χωρίς δυσκολία).

STOPJOHN · #3

chris_gatos έγραψε: Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A}=90^\circ$ )
το ύψος $A\Delta$ , το μέσο του $\Gamma\Delta$ και
σημείο στην προέκταση του , ώστε .
Να αποδείξετε ότι $Z\Delta$ , κάθετα.

Καλησπέρα

Θα αποδείξω ότι το σημείο $\Delta$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου

ASZ

Το $A\Gamma \Sigma \Delta$ είναι παραλληλόγραμμο αρα

$\Delta \Sigma //A\Gamma$ ,
$\Delta B//\Sigma Z$

Ακόμη $\Gamma \Sigma //A\Delta Λ,\Gamma \Sigma \perp B\Gamma ,A\Lambda \perp \Sigma Z$ Οπότε το σημείο $\Delta$ είναι ορθόκεντρο του $A\Sigma Z$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

chris_gatos έγραψε: Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A}=90^\circ$ )
το ύψος $A\Delta$ , το μέσο του $\Gamma\Delta$ και
σημείο στην προέκταση του , ώστε .
Να αποδείξετε ότι $Z\Delta$ , κάθετα.

Μια ακόμη

: 300.PNG (21.67 KiB) Προβλήθηκε 1908 φορές

Έστω $\rm M$ μέσο του $\rm CZ$ .Οπότε αφού $\rm ZD\parallel EM$ αρκεί $\angle MEA=90^{\circ}$ δηλαδή αρκεί $\rm BMEA$ εγγράψιμο.Αρκεί δηλαδή $\rm \angle BEA=\angle BMA=\angle MAC=\angle MCA$ .
Όμως $\rm \dfrac{AZ}{AC}=2\dfrac{AB}{AC}=2\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AD}{DE}$ και το ζητούμενο έπεται.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

chris_gatos έγραψε: Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A}=90^\circ$ )
το ύψος $A\Delta$ , το μέσο του $\Gamma\Delta$ και
σημείο στην προέκταση του , ώστε .
Να αποδείξετε ότι $Z\Delta$ , κάθετα.

Με

μέσον της

$\Rightarrow EM \| CA \Rightarrow EM \bot AB \Rightarrow M$ ορθόκεντρο του $\triangle EAB$

Άρα $BM \bot AE \Rightarrow ZD \bot AE$ (Αφού ZD//BM

)

: Καθετότητα.png (8.47 KiB) Προβλήθηκε 1890 φορές

KARKAR · #6

: ΑΣΕΠ.png (11.33 KiB) Προβλήθηκε 1852 φορές

"Περάσατε" το Α.Σ.Ε.Π αλλά θέλουμε και κάτι παραπάνω ! Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AT}{TE}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 12, 2020 10:58 am ΑΣΕΠ.png "Περάσατε" το Α.Σ.Ε.Π αλλά θέλουμε και κάτι παραπάνω ! Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AT}{TE}$

$\dfrac{AT}{TE}= \dfrac{AD^2}{ED^2}= 4(\dfrac{AD}{CD})^2=4tan^2C =4 \dfrac{b^2}{a^2}$

Γιώργος Μήτσιος · #8

Για την Καλησπέρα, μια ακόμη στο αρχικό πρόβλημα.

: Συνθέτοντας...PNG (16.39 KiB) Προβλήθηκε 1804 φορές

Θεωρούμε τον περίκυκλο του τριγώνου CAZ

(διαμέτρου

) με τις

να τον τέμνουν στα

και

.

Τα ορθ. τρίγωνα BAD,BHZ

είναι ίσα και το DAHZ

παραλληλόγραμμο.

Έτσι γωνίες $y+x=y+\omega \Rightarrow x=\omega$ οπότε AQ=HZ=AD

.

Αν

το μέσον της

τότε $AM \perp ZDQ$ και $AM \parallel CQ$ , άρα η

περνάει και από το μέσον

της

.

Φιλικά, Γιώργος.

Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση