Άσκηση στους πρώτους;

[JimNt.]

Θα ήθελα να ρωτήσω με αφορμή ένα πρόβλημα που συνάντησα το οποίο ζητούσε από τον λύτη να δείξει ότι δεν γίνεται για κάθε o να είναι πρώτος τι γίνεται δεκτό από τον εξεταστή. Το ζητούμενο είναι αυτονόητο αφού όπως πιστεύω οι πρώτοι δεν τηρούν περιοδικότητα ως προς την εμφάνιση τους στην σειρά των αριθμών (ή τουλάχιστον δεν έχει αποδειχτεί το αντίθετο) και συνεπώς δεν μπορούν να αποτελέσουν διαδοχικους όρους μιας ακολουθίας με γενικό όρο ακολουθίας . Ωστόσο, η παραπάνω απάντηση θα γινόταν δεκτή ή θα έπρεπε να επικαλεστούμε μια περίπτωση για την οποία σύνθετος; Ευχαριστώ. (η δεδομένη άσκηση ήταν διαφορετική, τέτοια ώστε μέχρι να εμφανίζονται μόνο πρώτοι)

[Mihalis_Lambrou]

ή θα έπρεπε να επικαλεστούμε μια περίπτωση για την οποία σύνθετος;

Δοκίμασε .

[JimNt.]

Το γνωρίζω. Το ζητούμενο είναι αν η απλή διαπίστωση του παραπάνω θα γινόταν δεκτή.

[Mihalis_Lambrou]

Το γνωρίζω. Το ζητούμενο είναι αν η απλή διαπίστωση του παραπάνω θα γινόταν δεκτή.

Αφού είναι λάθος, πώς θα γινόταν δεκτή;

[JimNt.]

Αναφέρομαι στο γεγονός ότι δεν υπάρχει ακολουθία της οποίας οι διαδοχικοί όροι να είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί.

[cretanman]

Γενικά, δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο ώστε οι τιμές να δίνουν πρώτο για κάθε φυσικό αριθμό .

Το παραπάνω θεωρώ είναι αρκετά γνωστό αποτέλεσμα πχ για μια διεθνή διοργάνωση Seniors τύπου BMO ή IMO συνεπώς δε θα χρειαζόταν απαραίτητα η απόδειξη (η οποία είναι μικρή σε έκταση). Για Juniors θεωρώ ότι ο μαθητής για να χρησιμοποιήσει κάποια εργαλεία πρέπει να τα έχει "χωνέψει" πρώτα άρα να ξέρει και τις αποδείξεις τους. Έτσι μαθαίνει καλύτερα μαθηματικά και όχι μόνο μεθοδολογίες αντιμετώπισης ασκήσεων!

Αλέξανδρος

[JimNt.]

Εγώ αυτό που διαπιστώνω (αν μπορεί να θεωρηθεί διαπίστωση) είναι ότι αφού δεν υπάρχει κάποιος νόμος περιοδικότητας στην εμφάνιση των πρώτων αριθμών, είναι αδύνατο να υπάρξει πολυώνυμο ώστε για οποιαδήποτε θετική ακέραια τιμή του να προκύπτει πρώτος,

[cretanman]

Αναφέρομαι στο γεγονός ότι δεν υπάρχει ακολουθία της οποίας οι διαδοχικοί όροι να είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί.

Αυτό δεν είναι σωστό! Υπάρχουν κλειστοί και αναδρομικοί τύποι ακολουθιών που παράγουν όλους τους πρώτους αριθμούς. Δες πχ σχετικά εδώ
viewtopic.php?p=147599#p147599

Αλέξανδρος

[JimNt.]

Αναφέρομαι στο γεγονός ότι δεν υπάρχει ακολουθία της οποίας οι διαδοχικοί όροι να είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί.

Αυτό δεν είναι σωστό! Υπάρχουν κλειστοί και αναδρομικοί τύποι ακολουθιών που παράγουν όλους τους πρώτους αριθμούς. Δες πχ σχετικά εδώ
viewtopic.php?p=147599#p147599

Αλέξανδρος

Αυτό είναι προφανές π.χ . Αυτο που εννοώ είναι κάθε όρος της ακολουθίας να είναι πρώτος. (Αν ίσχυε κάτι τέτοια θα υπήρχε μια περιοδικότητα στην εμφάνιση των πρώτων αριθμών, που όπως πιστέυω δεν υφίσταται. )

[Mihalis_Lambrou]

Αναφέρομαι στο γεγονός ότι δεν υπάρχει ακολουθία της οποίας οι διαδοχικοί όροι να είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί.

Δύο ασκήσεις για σένα για να ξεκαθαρίσεις τι γίνεται.

α) Βρες μία γνήσια αύξουσα ακολουθία της οποίας ΟΛΟΙ οι όροι να είναι πρώτοι. Υπάρχει μία ΑΠΟΛΥΤΑ ΠΡΟΦΑΝΗΣ. Προσοχή, δεν είπα να δώσεις κλειστό τύπο. Πάντως αυτό δείχνει ότι ο ισχυρισμός σου είναι εσφαλμένος (αν και ήδη το ανέφερε ο Αλέξανδρος).

β) Βρες άπειρους το πλήθος φυσικούς έτσι ώστε σύνθετος. Αυτό απαντά με ακραίο τρόπο στο αρχικό σου ερώτημα.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes
Δεν ξέρω αν είμαι εντός θέματος αλλά υπάρχει πολυώνυμο(με ακέραιους συντελεστές)
26 μεταβλητών που όταν πάρει θετική τιμή αυτή είναι πρώτος.
Επειδή παλιά είχα ασχοληθεί νομίζω ότι το πολυώνυμο μπορεί να γίνει δύο μεταβλητών αλλά
θα αυξηθεί ο βαθμός του.

[cretanman]

Αναφέρομαι στο γεγονός ότι δεν υπάρχει ακολουθία της οποίας οι διαδοχικοί όροι να είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί.

Αυτό δεν είναι σωστό! Υπάρχουν κλειστοί και αναδρομικοί τύποι ακολουθιών που παράγουν όλους τους πρώτους αριθμούς. Δες πχ σχετικά εδώ
viewtopic.php?p=147599#p147599

Αλέξανδρος

Αυτό είναι προφανές π.χ . Αυτο που εννοώ είναι κάθε όρος της ακολουθίας να είναι πρώτος. (Αν ίσχυε κάτι τέτοια θα υπήρχε μια περιοδικότητα στην εμφάνιση των πρώτων αριθμών, που όπως πιστέυω δεν υφίσταται. )

Παρά το ότι δεν βλέπω να είναι προφανές το παραπάνω (με την έννοια ότι ναι μεν περιέχει όλους τους πρώτους τους μεγαλύτερους του 3 αλλά όχι μόνο πρώτους - αλλά γιατί;) να σου αναφέρω ότι αν κοιτάξεις προσεκτικά στον σύνδεσμο που σου έδωσα θα βρεις ακολουθίες με κλειστό τύπο που δίνουν όλους τους πρώτους και ΜΟΝΟ πρώτους! Είναι με άλλα λόγια κλειστοί τύποι που δίνουν για κάθε τον -οστό πρώτο αριθμό!

Στον σύνδεσμο αναφέρω και για το πολυώνυμο 26 μεταβλητών που αναφέρει ο Σταύρος παραπάνω! Είναι στη βιβλιογραφία το άρθρο [9].

Αλέξανδρος

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Καλημέρα Αλέξαντρε.
Το πρόβλημα είναι τι είναι τύπος.
Επίσης το πόσο χρήσιμος είναι ο τύπος.
π.χ ο τύπος με το πολυώνυμο 26 μεταβλητών είναι πρακτικά άχρηστος.
Θυμάμαι ότι όταν τον είχα πρωτοδεί προσπαθούσα για ώρες να βάλω τιμές ώστε να πάρω πρώτο.
Μάταια πάντα αρνητικό μου έβγαινε.
Διάβασα γρήγορα την εργασία σου και είναι πολύ καλή.
Θεωρώ όμως ότι όλοι αυτοί οι 'τύποι' πρακτικά είναι άχρηστοι για τους μη μαθηματικούς.
(Αν κάνω λάθος διόρθωσε με)
Δηλαδή αν ένας κομπιουτεράς θέλει να βρει πρώτους δεν θα τους χρησιμοποιήσει.

[cretanman]

Καλημέρα Αλέξαντρε.
Το πρόβλημα είναι τι είναι τύπος.
Επίσης το πόσο χρήσιμος είναι ο τύπος.
π.χ ο τύπος με το πολυώνυμο 26 μεταβλητών είναι πρακτικά άχρηστος.
Θυμάμαι ότι όταν τον είχα πρωτοδεί προσπαθούσα για ώρες να βάλω τιμές ώστε να πάρω πρώτο.
Μάταια πάντα αρνητικό μου έβγαινε.
Διάβασα γρήγορα την εργασία σου και είναι πολύ καλή.
Θεωρώ όμως ότι όλοι αυτοί οι 'τύποι' πρακτικά είναι άχρηστοι για τους μη μαθηματικούς.
(Αν κάνω λάθος διόρθωσε με)
Δηλαδή αν ένας κομπιουτεράς θέλει να βρει πρώτους δεν θα τους χρησιμοποιήσει.

Φυσικά Σταύρο!! Έχεις απόλυτο δίκιο και είναι κάτι που αναφέρω και τονίζω στην παραπάνω εργασία...Υπολογιστικά άχρηστοι!! Για τα μαθηματικά όμως δεν παύουν να είναι κλειστοί τύποι και αυτό έχει την ομορφιά του!

Μάλιστα στην παρουσίαση στη Θεσσαλονίκη, είχα δώσει τους χρόνους που έκανε ένας 2πυρινος (τότε ήταν αιχμής) να βγάλει τους πρώτους 100 πρώτους και ήταν απογοητευτικά μεγάλοι!

Αλέξανδρος

[Mihalis_Lambrou]

Για να κλείνει

α) Βρες μία γνήσια αύξουσα ακολουθία της οποίας ΟΛΟΙ οι όροι να είναι πρώτοι. Υπάρχει μία ΑΠΟΛΥΤΑ ΠΡΟΦΑΝΗΣ. Προσοχή, δεν είπα να δώσεις κλειστό τύπο.

Η ίδια η ακολουθία των πρώτων, μας κάνει!

β) Βρες άπειρους το πλήθος φυσικούς έτσι ώστε σύνθετος.

Υπάρχουν πολλές οικογένειες από που κάνουν την δουλειά. Για παράδειγμα αν τότε

, που είναι σύνθετος.

Ανάλογα η δίνει τους σύνθετους .

Άλλη ενδιαφέρουσα είναι η που δίνει .