Άσκηση στους πρώτους;

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 567
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Άσκηση στους πρώτους;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Μαρ 25, 2017 11:04 pm

Θα ήθελα να ρωτήσω με αφορμή ένα πρόβλημα που συνάντησα το οποίο ζητούσε από τον λύτη να δείξει ότι δεν γίνεται για κάθε n o A=n^2+n+1 να είναι πρώτος τι γίνεται δεκτό από τον εξεταστή. Το ζητούμενο είναι αυτονόητο αφού όπως πιστεύω οι πρώτοι δεν τηρούν περιοδικότητα ως προς την εμφάνιση τους στην σειρά των αριθμών (ή τουλάχιστον δεν έχει αποδειχτεί το αντίθετο) και συνεπώς δεν μπορούν να αποτελέσουν διαδοχικους όρους μιας ακολουθίας με γενικό όρο ακολουθίας n^2+n+1. Ωστόσο, η παραπάνω απάντηση θα γινόταν δεκτή ή θα έπρεπε να επικαλεστούμε μια περίπτωση για την οποία A-> σύνθετος; Ευχαριστώ. (η δεδομένη άσκηση ήταν διαφορετική, τέτοια ώστε μέχρι n=27 να εμφανίζονται μόνο πρώτοι)


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11504
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 25, 2017 11:12 pm

JimNt. έγραψε: ή θα έπρεπε να επικαλεστούμε μια περίπτωση για την οποία A-> σύνθετος;
Δοκίμασε n=4.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Μαρ 25, 2017 11:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 567
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Μαρ 25, 2017 11:12 pm

Το γνωρίζω. Το ζητούμενο είναι αν η απλή διαπίστωση του παραπάνω θα γινόταν δεκτή.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11504
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 25, 2017 11:15 pm

JimNt. έγραψε:Το γνωρίζω. Το ζητούμενο είναι αν η απλή διαπίστωση του παραπάνω θα γινόταν δεκτή.
Αφού είναι λάθος, πώς θα γινόταν δεκτή;


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 567
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Μαρ 25, 2017 11:16 pm

Αναφέρομαι στο γεγονός ότι δεν υπάρχει ακολουθία της οποίας οι διαδοχικοί όροι να είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Μαρ 25, 2017 11:19 pm

Γενικά, δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο P(x) ώστε οι τιμές P(n) να δίνουν πρώτο για κάθε φυσικό αριθμό n.

Το παραπάνω θεωρώ είναι αρκετά γνωστό αποτέλεσμα πχ για μια διεθνή διοργάνωση Seniors τύπου BMO ή IMO συνεπώς δε θα χρειαζόταν απαραίτητα η απόδειξη (η οποία είναι μικρή σε έκταση). Για Juniors θεωρώ ότι ο μαθητής για να χρησιμοποιήσει κάποια εργαλεία πρέπει να τα έχει "χωνέψει" πρώτα άρα να ξέρει και τις αποδείξεις τους. Έτσι μαθαίνει καλύτερα μαθηματικά και όχι μόνο μεθοδολογίες αντιμετώπισης ασκήσεων!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 567
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Μαρ 25, 2017 11:22 pm

Εγώ αυτό που διαπιστώνω (αν μπορεί να θεωρηθεί διαπίστωση) είναι ότι αφού δεν υπάρχει κάποιος νόμος περιοδικότητας στην εμφάνιση των πρώτων αριθμών, είναι αδύνατο να υπάρξει πολυώνυμο P(x) ώστε για οποιαδήποτε θετική ακέραια τιμή του x να προκύπτει πρώτος,


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Μαρ 25, 2017 11:24 pm

JimNt. έγραψε:Αναφέρομαι στο γεγονός ότι δεν υπάρχει ακολουθία της οποίας οι διαδοχικοί όροι να είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί.
Αυτό δεν είναι σωστό! Υπάρχουν κλειστοί και αναδρομικοί τύποι ακολουθιών που παράγουν όλους τους πρώτους αριθμούς. Δες πχ σχετικά εδώ
viewtopic.php?p=147599#p147599

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 567
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Μαρ 25, 2017 11:25 pm

cretanman έγραψε:
JimNt. έγραψε:Αναφέρομαι στο γεγονός ότι δεν υπάρχει ακολουθία της οποίας οι διαδοχικοί όροι να είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί.
Αυτό δεν είναι σωστό! Υπάρχουν κλειστοί και αναδρομικοί τύποι ακολουθιών που παράγουν όλους τους πρώτους αριθμούς. Δες πχ σχετικά εδώ
viewtopic.php?p=147599#p147599

Αλέξανδρος
Αυτό είναι προφανές π.χ \sqrt{24n+1}. Αυτο που εννοώ είναι κάθε όρος της ακολουθίας να είναι πρώτος. (Αν ίσχυε κάτι τέτοια θα υπήρχε μια περιοδικότητα στην εμφάνιση των πρώτων αριθμών, που όπως πιστέυω δεν υφίσταται. )


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11504
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 26, 2017 12:01 am

JimNt. έγραψε:Αναφέρομαι στο γεγονός ότι δεν υπάρχει ακολουθία της οποίας οι διαδοχικοί όροι να είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί.
Δύο ασκήσεις για σένα για να ξεκαθαρίσεις τι γίνεται.

α) Βρες μία γνήσια αύξουσα ακολουθία της οποίας ΟΛΟΙ οι όροι να είναι πρώτοι. Υπάρχει μία ΑΠΟΛΥΤΑ ΠΡΟΦΑΝΗΣ. Προσοχή, δεν είπα να δώσεις κλειστό τύπο. Πάντως αυτό δείχνει ότι ο ισχυρισμός σου είναι εσφαλμένος (αν και ήδη το ανέφερε ο Αλέξανδρος).

β) Βρες άπειρους το πλήθος φυσικούς n έτσι ώστε n^2+n+1 σύνθετος. Αυτό απαντά με ακραίο τρόπο στο αρχικό σου ερώτημα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 26, 2017 12:14 am

https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes
Δεν ξέρω αν είμαι εντός θέματος αλλά υπάρχει πολυώνυμο(με ακέραιους συντελεστές)
26 μεταβλητών που όταν πάρει θετική τιμή αυτή είναι πρώτος.
Επειδή παλιά είχα ασχοληθεί νομίζω ότι το πολυώνυμο μπορεί να γίνει δύο μεταβλητών αλλά
θα αυξηθεί ο βαθμός του.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Κυρ Μαρ 26, 2017 12:18 am

JimNt. έγραψε:
cretanman έγραψε:
JimNt. έγραψε:Αναφέρομαι στο γεγονός ότι δεν υπάρχει ακολουθία της οποίας οι διαδοχικοί όροι να είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί.
Αυτό δεν είναι σωστό! Υπάρχουν κλειστοί και αναδρομικοί τύποι ακολουθιών που παράγουν όλους τους πρώτους αριθμούς. Δες πχ σχετικά εδώ
viewtopic.php?p=147599#p147599

Αλέξανδρος
Αυτό είναι προφανές π.χ \sqrt{24n+1}. Αυτο που εννοώ είναι κάθε όρος της ακολουθίας να είναι πρώτος. (Αν ίσχυε κάτι τέτοια θα υπήρχε μια περιοδικότητα στην εμφάνιση των πρώτων αριθμών, που όπως πιστέυω δεν υφίσταται. )
Παρά το ότι δεν βλέπω να είναι προφανές το παραπάνω (με την έννοια ότι ναι μεν περιέχει όλους τους πρώτους τους μεγαλύτερους του 3 αλλά όχι μόνο πρώτους - αλλά γιατί;) να σου αναφέρω ότι αν κοιτάξεις προσεκτικά στον σύνδεσμο που σου έδωσα θα βρεις ακολουθίες με κλειστό τύπο που δίνουν όλους τους πρώτους και ΜΟΝΟ πρώτους! Είναι με άλλα λόγια κλειστοί τύποι που δίνουν για κάθε n τον n-οστό πρώτο αριθμό!

Στον σύνδεσμο αναφέρω και για το πολυώνυμο 26 μεταβλητών που αναφέρει ο Σταύρος παραπάνω! Είναι στη βιβλιογραφία το άρθρο [9].

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 26, 2017 1:26 am

Καλημέρα Αλέξαντρε.
Το πρόβλημα είναι τι είναι τύπος.
Επίσης το πόσο χρήσιμος είναι ο τύπος.
π.χ ο τύπος με το πολυώνυμο 26 μεταβλητών είναι πρακτικά άχρηστος.
Θυμάμαι ότι όταν τον είχα πρωτοδεί προσπαθούσα για ώρες να βάλω τιμές ώστε να πάρω πρώτο.
Μάταια πάντα αρνητικό μου έβγαινε.
Διάβασα γρήγορα την εργασία σου και είναι πολύ καλή.
Θεωρώ όμως ότι όλοι αυτοί οι 'τύποι' πρακτικά είναι άχρηστοι για τους μη μαθηματικούς.
(Αν κάνω λάθος διόρθωσε με)
Δηλαδή αν ένας κομπιουτεράς θέλει να βρει πρώτους δεν θα τους χρησιμοποιήσει.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Κυρ Μαρ 26, 2017 8:20 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Καλημέρα Αλέξαντρε.
Το πρόβλημα είναι τι είναι τύπος.
Επίσης το πόσο χρήσιμος είναι ο τύπος.
π.χ ο τύπος με το πολυώνυμο 26 μεταβλητών είναι πρακτικά άχρηστος.
Θυμάμαι ότι όταν τον είχα πρωτοδεί προσπαθούσα για ώρες να βάλω τιμές ώστε να πάρω πρώτο.
Μάταια πάντα αρνητικό μου έβγαινε.
Διάβασα γρήγορα την εργασία σου και είναι πολύ καλή.
Θεωρώ όμως ότι όλοι αυτοί οι 'τύποι' πρακτικά είναι άχρηστοι για τους μη μαθηματικούς.
(Αν κάνω λάθος διόρθωσε με)
Δηλαδή αν ένας κομπιουτεράς θέλει να βρει πρώτους δεν θα τους χρησιμοποιήσει.
Φυσικά Σταύρο!! Έχεις απόλυτο δίκιο και είναι κάτι που αναφέρω και τονίζω στην παραπάνω εργασία...Υπολογιστικά άχρηστοι!! Για τα μαθηματικά όμως δεν παύουν να είναι κλειστοί τύποι και αυτό έχει την ομορφιά του!

Μάλιστα στην παρουσίαση στη Θεσσαλονίκη, είχα δώσει τους χρόνους που έκανε ένας 2πυρινος (τότε ήταν αιχμής) να βγάλει τους πρώτους 100 πρώτους και ήταν απογοητευτικά μεγάλοι!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11504
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση στους πρώτους;

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 26, 2017 10:44 pm

Για να κλείνει
Mihalis_Lambrou έγραψε:α) Βρες μία γνήσια αύξουσα ακολουθία της οποίας ΟΛΟΙ οι όροι να είναι πρώτοι. Υπάρχει μία ΑΠΟΛΥΤΑ ΠΡΟΦΑΝΗΣ. Προσοχή, δεν είπα να δώσεις κλειστό τύπο.


Η ίδια η ακολουθία των πρώτων, q_1=2, \, q_2=3, q_3=5, ... μας κάνει!
Mihalis_Lambrou έγραψε:β) Βρες άπειρους το πλήθος φυσικούς n έτσι ώστε n^2+n+1 σύνθετος.
Υπάρχουν πολλές οικογένειες από n που κάνουν την δουλειά. Για παράδειγμα αν n=3m+1 τότε

n^2+n+1 = (3m+1)^2+(3m+1)+1=3(3m^2+3m+1), που είναι σύνθετος.

Ανάλογα η n=7m+2 δίνει τους σύνθετους n^2+n+1 = 7(7m^2+3m+1).

Άλλη ενδιαφέρουσα είναι η n=m^2 που δίνει n^2+n+1 = (m^2+m+1)(m^2-m+1).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενική Συζήτηση - Σχόλια”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες