Υπερβολικό εμβαδόν

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13438
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Υπερβολικό εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 08, 2024 9:38 am

Υπερβολικό εμβαδόν.png
Υπερβολικό εμβαδόν.png (36.73 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές
Σημείο S κινείται στο δεξιό κλάδο της υπερβολής με εξίσωση \displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1. Η εφαπτομένη της υπερβολής στο S τέμνει

τις ασύμπτωτες στα P, T. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου OPT είναι σταθερό ανεξάρτητο από τη θέση του S.


48 ώρες μόνο για μαθητές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15161
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Υπερβολικό εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιούλ 13, 2024 10:45 am

Σταθερό εμβαδόν υπερβολής.png
Σταθερό εμβαδόν υπερβολής.png (14.82 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές
Επειδή η γωνία \widehat{TOP} είναι σταθερή ( και γνωστή ) , αρκεί να είναι σταθερό το γινόμενο : OT\cdot OP ,

η ακόμα πιο απλά το γινόμενο : OT'\cdot OP' . ( Οι μαθητές δεν θα δυσκολευτούν στις πράξεις ) .

Ας θυμηθούμε εδώ την άσκηση 4 , σελ. 110 του σχολικού βιβλίου της Γ' : Αν η εφαπτομένη της υπερβολής

f(x)=\dfrac{1}{x} , σε μεταβλητό σημείο M , τέμνει τους άξονες στα σημεία A , B , τότε το (OAB) είναι σταθερό .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10012
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπερβολικό εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιούλ 13, 2024 11:57 am

Η άσκηση υπάρχει ( λυμένη ή άλυτη ) σε όλα σχεδόν τα βιβλία Αναλυτικής Γεωμετρίας .

Έχει τεθεί σε εισαγωγικές εξετάσεις αλλά για ισοσκελή υπερβολή ( y = \dfrac{1}{x} ) παλιότερα.


kfd
Δημοσιεύσεις: 231
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Υπερβολικό εμβαδόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Σάβ Ιούλ 13, 2024 1:19 pm

S(x_{1},y_{1}) ισχύει \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1 (1) και η εφαπτομένη σ' αυτό έχει εξίσωση \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1, ενώ οι ασύμπτωτες έχουν εξισώσεις y=\pm \frac{b}{a}x. Tα 2 (Σ) της εφαπτομένης με τις ασύμπτωτες έχουν λύσεις:T(\frac{a^{2}b}{x_{1}b-y_{1}a},\frac{b^{2}a}{x_{1}b-y_{1}a}) και P(\frac{a^{2}b}{x_{1}b+y_{1}a},\frac{b^{2}a}{x_{1}b+y_{1}a}). Οι παρονομαστές δεν είναι 0 γιατί η εφαπτομένη δεν είναι παράλληλη στις ασύμπτωτες. Ισχύει (OPT)=\frac{1}{2}\left | det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OT}) \right |=\frac{a^{3}b^{3}}{\left | x_{1}^{2} b^{2}-a^{2}y_{1}^{2}\right |}=ab, αφού από την (1) x_{1}^{2}b^{2}-a^{2}y_{1}^{2}=a^{2}b^{2}. Άρα εμβαδόν σταθερό (ανεξάρτητο των x_{1},y_{1}).
Eυχαριστώ.
τελευταία επεξεργασία από kfd σε Σάβ Ιούλ 13, 2024 2:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες