Γεωμετρικός μέσος

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 14019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γεωμετρικός μέσος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 23, 2023 8:04 pm

Γεωμετρικός  μέσος.png
Γεωμετρικός μέσος.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές
Το S είναι σημείο της καμπύλης : f(x)=\sqrt{x^2+3} . Δείξτε ότι : SA \cdot SB= SO^2



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14860
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γεωμετρικός μέσος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 23, 2023 8:33 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 23, 2023 8:04 pm
Γεωμετρικός μέσος.pngΤο S είναι σημείο της καμπύλης : f(x)=\sqrt{x^2+3} . Δείξτε ότι : SA \cdot SB= SO^2
Ενδιαφέρουσα ιδιότητα (ως προς την επινόησή της, που εκεί είναι όλα τα λεφτά) αλλά η απόδειξή της είναι απλός έλεγχος. Aν S(x,y) οι συντεταγμένες του S, έχουμε

SO^2= x^2+y^2=2x^2+3. Επίσης

SA\cdot SB = \sqrt {(x^2+(y-\sqrt 6)^2)  (x^2+(y+\sqrt 6)^2)   }= \sqrt {(x^2+y^2+6 -2y\sqrt 6)  (x^2+y^2+6+2y\sqrt 6)   }=

\sqrt {(x^2+y^2+6)^2 -(2y\sqrt 6)^2 } = \sqrt {(2x^2+9)^2 -24 (x^2+3) }= \sqrt {4x^4+12x^2+9 }= \sqrt {(2x^2+3)^2} =

=2x^2 +3=SO^2


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5141
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Γεωμετρικός μέσος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Ιαν 23, 2023 10:03 pm

Καλησπέρα σε όλους. Με Αναλυτική και Ευκλείδεια Γεωμετρία.

23-01-2023 Γεωμετρία.png
23-01-2023 Γεωμετρία.png (17.13 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

Τα A, B είναι εστίες της ισοσκελούς υπερβολής y^2-x^2=3, οπότε, αφού το S είναι στο θετικό ημιπεπίπδο, θα είναι

 \displaystyle SA - SB = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow S{A^2} + S{B^2} - 2SA \cdot SB = 12 (1)

Από 1ο Θ. Διαμέσων,  \displaystyle S{A^2} + S{B^2} = 2S{O^2} + \frac{{A{B^2}}}{2} \Leftrightarrow S{A^2} + S{B^2} = 2S{O^2} + 12 (2)

Από (1) και (2), έχουμε  \displaystyle SA \cdot SB = S{O^2} .


abgd
Δημοσιεύσεις: 340
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Γεωμετρικός μέσος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Τρί Ιαν 24, 2023 1:15 am

Είναι μια ιδιότητα κάθε ισοσκελούς υπερβολής:

Αν \displaystyle{ x^2-y^2=a^2,\ \ a>0 } ισοσκελής υπερβολή με εστίες \displaystyle{E(\gamma,0), E' (-\gamma,0), \ \ \gamma=a\sqrt{2}} και \displaystyle{ S(x,y),\ \ x>0 } τότε:

\displaystyle{ SE'-SE=2a \ \ \bf(1)} και

\displaystyle{ SE'^2-SE^2=(x+\gamma)^2+y^2-(x-\gamma)^2-y^2=4\gamma\cdot x} και με τη βοήθεια της \displaystyle{\bf(1)} προκύπτει:

\displaystyle{ SE'+SE=2\sqrt{2}x \ \ \bf(2)}

Από τις \displaystyle{ \bf(1), \ \ \bf(2)} προσθέτοντας και αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε: \displaystyle{ SE'=\sqrt{2}x+a,  \ \ SE=\sqrt{2}x-a}

Είναι: \displaystyle{ SE'\cdot SE=2x^2-a^2=x^2+x^2-a^2=x^2+y^2=SO^2}

Ομοίως για την υπερβολή \displaystyle{ y^2-x^2=a^2,\ \ a>0 } .


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12087
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γεωμετρικός μέσος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 24, 2023 9:48 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 23, 2023 8:04 pm
Γεωμετρικός μέσος.pngΤο S είναι σημείο της καμπύλης : f(x)=\sqrt{x^2+3} . Δείξτε ότι : SA \cdot SB= SO^2
Με Ευκλείδεια.

\boxed{SO^2=2x^2+3} (1) και αν (K, R) είναι ο περίκυκλος του SAB τότε \boxed{SA\cdot SB=2Rx} (2)

Γεωμετρικός μέσος.Κ.png
Γεωμετρικός μέσος.Κ.png (23.65 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές
Π. Θ στο SKE, \displaystyle {R^2} = {x^2} + 3 + {(x - OK)^2} \Leftrightarrow O{K^2} + 6 = {x^2} + 3 + {x^2} - 2xOK + O{K^2} \Leftrightarrow

\displaystyle 2{x^2} - 3 = 2x\sqrt {{R^2} - 6}  \Leftrightarrow {(2{x^2} - 3)^2} = {(2Rx)^2} - 24{x^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 3 = 2Rx

και από (1), (2), \boxed{SA \cdot SB= SO^2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης