Γεωμετρικός μέσος

KARKAR · #1

: Γεωμετρικός μέσος.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές

Το

είναι σημείο της καμπύλης : $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ . Δείξτε ότι : $SA \cdot SB= SO^2$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 23, 2023 8:04 pm
Γεωμετρικός μέσος.pngΤο είναι σημείο της καμπύλης : $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ . Δείξτε ότι : $SA \cdot SB= SO^2$

Ενδιαφέρουσα ιδιότητα (ως προς την επινόησή της, που εκεί είναι όλα τα λεφτά) αλλά η απόδειξή της είναι απλός έλεγχος. Aν S(x,y)

οι συντεταγμένες του

, έχουμε

. Επίσης

$SA\cdot SB = \sqrt {(x^2+(y-\sqrt 6)^2) (x^2+(y+\sqrt 6)^2) }= \sqrt {(x^2+y^2+6 -2y\sqrt 6) (x^2+y^2+6+2y\sqrt 6) }=$

$\sqrt {(x^2+y^2+6)^2 -(2y\sqrt 6)^2 } = \sqrt {(2x^2+9)^2 -24 (x^2+3) }= \sqrt {4x^4+12x^2+9 }= \sqrt {(2x^2+3)^2} =$

=2x^2 +3=SO^2

#3

Καλησπέρα σε όλους. Με Αναλυτική και Ευκλείδεια Γεωμετρία.

: 23-01-2023 Γεωμετρία.png (17.13 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές

Τα

είναι εστίες της ισοσκελούς υπερβολής y^2-x^2=3

, οπότε, αφού το

είναι στο θετικό ημιπεπίπδο, θα είναι

$\displaystyle SA - SB = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow S{A^2} + S{B^2} - 2SA \cdot SB = 12$ (1)

Από 1ο Θ. Διαμέσων, $\displaystyle S{A^2} + S{B^2} = 2S{O^2} + \frac{{A{B^2}}}{2} \Leftrightarrow S{A^2} + S{B^2} = 2S{O^2} + 12$ (2)

Από (1) και (2), έχουμε $\displaystyle SA \cdot SB = S{O^2}$ .

abgd · #4

Είναι μια ιδιότητα κάθε ισοσκελούς υπερβολής:

Αν $\displaystyle{ x^2-y^2=a^2,\ \ a>0 }$ ισοσκελής υπερβολή με εστίες $\displaystyle{E(\gamma,0), E' (-\gamma,0), \ \ \gamma=a\sqrt{2}}$ και $\displaystyle{ S(x,y),\ \ x>0 }$ τότε:

$\displaystyle{ SE'-SE=2a \ \ \bf(1)}$ και

$\displaystyle{ SE'^2-SE^2=(x+\gamma)^2+y^2-(x-\gamma)^2-y^2=4\gamma\cdot x}$ και με τη βοήθεια της $\displaystyle{\bf(1)}$ προκύπτει:

$\displaystyle{ SE'+SE=2\sqrt{2}x \ \ \bf(2)}$

Από τις $\displaystyle{ \bf(1), \ \ \bf(2)}$ προσθέτοντας και αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε: $\displaystyle{ SE'=\sqrt{2}x+a, \ \ SE=\sqrt{2}x-a}$

Είναι: $\displaystyle{ SE'\cdot SE=2x^2-a^2=x^2+x^2-a^2=x^2+y^2=SO^2}$

Ομοίως για την υπερβολή $\displaystyle{ y^2-x^2=a^2,\ \ a>0 }$ .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 23, 2023 8:04 pm
Γεωμετρικός μέσος.pngΤο είναι σημείο της καμπύλης : $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ . Δείξτε ότι : $SA \cdot SB= SO^2$

Με Ευκλείδεια.

$\boxed{SO^2=2x^2+3}$ (1)

και αν

είναι ο περίκυκλος του SAB

τότε $\boxed{SA\cdot SB=2Rx}$ (2)

: Γεωμετρικός μέσος.Κ.png (23.65 KiB) Προβλήθηκε 71 φορές

Π. Θ στο

$\displaystyle {R^2} = {x^2} + 3 + {(x - OK)^2} \Leftrightarrow O{K^2} + 6 = {x^2} + 3 + {x^2} - 2xOK + O{K^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2{x^2} - 3 = 2x\sqrt {{R^2} - 6} \Leftrightarrow {(2{x^2} - 3)^2} = {(2Rx)^2} - 24{x^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 3 = 2Rx$

και από (1), (2),

$\boxed{SA \cdot SB= SO^2}$

Γεωμετρικός μέσος

Γεωμετρικός μέσος

Re: Γεωμετρικός μέσος

Re: Γεωμετρικός μέσος

Re: Γεωμετρικός μέσος

Re: Γεωμετρικός μέσος

Μέλη σε σύνδεση