Σαρανταπεντάρες γωνίες

KARKAR · #1

Ο καθηγητής ο οποίος διδάσκει τα διανύσματα στην Β' Λυκείου και συγκεκριμένα την γωνία τους , πιθανόν

να δυσκολευτεί να βρει παραδείγματα διανυσμάτων που να σχηματίζουν μια "καλή" γωνία , π.χ. 45^0

.

Στον πίνακα που ακολουθεί , από τα παράλληλα διανύσματα , γράψαμε μόνο εκείνο με τις μικρότερες συντεταγμένες

ενώ παραλείψαμε εκείνα της μορφής (a ,a)

, διότι τότε κάθε διάνυσμα της μορφής $(m ,0 ) \acute{\eta} ( 0,k) , m , k >0$ , μας κάνει .

Επίσης στον πίνακα η τετμημένη του πρώτου διανύσματος είναι ακέραιος μεταξύ

και

.

: Γωνίες διανυσμάτων.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές

Διανύσματα τα οποία σχηματίζουν γωνία 45 μοιρών.docx: (12.72 KiB) Μεταφορτώθηκε 15 φορές

Οι μαθητές που μας παρακολουθούν , μπορούν να δείξουν ότι τα διανύσματα με τις συντεταγμένες του σχήματος

σχηματίζουν όντως γωνία 45^0

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 27, 2022 7:25 am
Ο καθηγητής ο οποίος διδάσκει τα διανύσματα στην Β' Λυκείου και συγκεκριμένα την γωνία τους , πιθανόν

να δυσκολευτεί να βρει παραδείγματα διανυσμάτων που να σχηματίζουν μια "καλή" γωνία , π.χ. .

Στον πίνακα που ακολουθεί , από τα παράλληλα διανύσματα , γράψαμε μόνο εκείνο με τις μικρότερες συντεταγμένες

ενώ παραλείψαμε εκείνα της μορφής , διότι τότε κάθε διάνυσμα της μορφής $(m ,0 ) \acute{\eta} ( 0,k) , m , k >0$ , μας κάνει .

Επίσης στον πίνακα η τετμημένη του πρώτου διανύσματος είναι ακέραιος μεταξύ και .Γωνίες διανυσμάτων.png
Διανύσματα τα οποία σχηματίζουν γωνία 45 μοιρών.docx
Οι μαθητές που μας παρακολουθούν , μπορούν να δείξουν ότι τα διανύσματα με τις συντεταγμένες του σχήματος

σχηματίζουν όντως γωνία .

$\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( {b + a - a,d - a - b} \right) = \left( {d, - a} \right) \hfill \\ \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AB} = 0 \hfill \\ OA = OB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Δηλαδή το $\vartriangle AOB$ είναι ισοσκελές ορθογώνιο και άρα : $\widehat {BOA} = 45^\circ$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 27, 2022 7:25 am
Ο καθηγητής ο οποίος διδάσκει τα διανύσματα στην Β' Λυκείου και συγκεκριμένα την γωνία τους , πιθανόν

να δυσκολευτεί να βρει παραδείγματα διανυσμάτων που να σχηματίζουν μια "καλή" γωνία , π.χ. .

Στον πίνακα που ακολουθεί , από τα παράλληλα διανύσματα , γράψαμε μόνο εκείνο με τις μικρότερες συντεταγμένες

ενώ παραλείψαμε εκείνα της μορφής , διότι τότε κάθε διάνυσμα της μορφής $(m ,0 ) \acute{\eta} ( 0,k) , m , k >0$ , μας κάνει .

Επίσης στον πίνακα η τετμημένη του πρώτου διανύσματος είναι ακέραιος μεταξύ και .Γωνίες διανυσμάτων.png
Διανύσματα τα οποία σχηματίζουν γωνία 45 μοιρών.docx
Οι μαθητές που μας παρακολουθούν , μπορούν να δείξουν ότι τα διανύσματα με τις συντεταγμένες του σχήματος

σχηματίζουν όντως γωνία .

Αν $\displaystyle \varphi$ είναι η γωνία των διανυσμάτων, τότε $\displaystyle \cos \varphi = \frac{{\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} }}{{|\overrightarrow {OA} ||\overrightarrow {OB} |}}$

$\displaystyle \cos \varphi = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {2({a^2} + {b^2})} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\varphi=45^\circ}$

#4

Αλλιώς.

: 45ara.png (8.31 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές

$\displaystyle (AD) = d(A,OB) = \frac{{|a(b - a) - b(b + a)|}}{{\sqrt {2({a^2} + {b^2})} }} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{(OA)}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

και το ζητούμενο έπεται.

#5

Kι αλλιώς,

: Γωνίες διανυσμάτων.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Έστω $\displaystyle \widehat {Box} = {\varphi _1},\;\;\widehat {AOx} = {\varphi _2},\;\;\widehat {AOB} = \varphi$ .

$\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \varepsilon \varphi \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = \frac{{\varepsilon \varphi {\varphi _2} - \varepsilon \varphi {\varphi _1}}}{{1 + \varepsilon \varphi {\varphi _2} \cdot \varepsilon \varphi {\varphi _1}}} = \frac{{\frac{b}{a} - \frac{{b - a}}{{b + a}}}}{{1 + \frac{{b\left( {b - a} \right)}}{{a\left( {b + a} \right)}}}} = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{{{b^2} + {a^2}}} = 1$ , άρα $\displaystyle \varphi = 45^\circ$ .

KARKAR · #6

: Σαρανταπεντάρες γωνίες.png (18.01 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

Φυσικά , πλην του $\overrightarrow{OB}$ και το διάνυσμα $\overrightarrow{OC}$ , σχηματίζει γωνία 45^0

με το $\overrightarrow{OA}$ .

Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου

. Μπορείτε , χωρίς χρήση εκείνων του

;

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 28, 2022 7:13 am
Σαρανταπεντάρες γωνίες.pngΦυσικά , πλην του $\overrightarrow{OB}$ και το διάνυσμα $\overrightarrow{OC}$ , σχηματίζει γωνία με το $\overrightarrow{OA}$ .

Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου . Μπορείτε , χωρίς χρήση εκείνων του ;

Με χρήση των συντεταγμένων του

είναι απλό, αφού το

είναι μέσο του BC.

Εδώ, θα βρούμε και τα δύο σημεία B, C.

: 45ara.b.png (11.75 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow ax + by = {a^2} + {b^2} \hfill \\ OA = AC \Leftrightarrow ax + by = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \frac{{{a^2} + {b^2} - ax}}{b} \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 2({a^2} + {b^2}) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , απ' όπου καταλήγω στην εξίσωση

${x^2} - 2ax + {a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow x = a + b$ ή x=a-b,

με αντίστοιχα y=b-a

ή

Έτσι προκύπτουν οι συντεταγμένες του B(b+a, b-a)

και του

Σαρανταπεντάρες γωνίες

Σαρανταπεντάρες γωνίες

Re: Σαρανταπεντάρες γωνίες

Re: Σαρανταπεντάρες γωνίες

Re: Σαρανταπεντάρες γωνίες

Re: Σαρανταπεντάρες γωνίες

Re: Σαρανταπεντάρες γωνίες

Re: Σαρανταπεντάρες γωνίες

Μέλη σε σύνδεση