Ο συντελεστής

KARKAR · #1

: Ο συντελεστής.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

Υπάρχει πραγματικός

, ώστε τα διανύσματα : $\vec{OC}=\vec{OA}+k\vec{OB}$ και : $\vec{OD}=k\vec{OA}-\vec{OB}$ , να σχηματίζουν γωνία 45^0

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 26, 2022 11:34 am
Ο συντελεστής.pngΥπάρχει πραγματικός , ώστε τα διανύσματα : $\vec{OC}=\vec{OA}+k\vec{OB}$ και : $\vec{OD}=k\vec{OA}-\vec{OB}$ , να σχηματίζουν γωνία ;

$\displaystyle \overrightarrow {OC} = (5 + 3k,1 - 2k),\overrightarrow {OD} = (5k - 3,k + 2)$

$\displaystyle \overrightarrow {OC} \cdot \overrightarrow {OD} = 13({k^2} + k - 1),|\overrightarrow {OC} | = \sqrt {13} \sqrt {{k^2} + 2k + 2} ,|\overrightarrow {OD} | = \sqrt {13} \sqrt {2{k^2} - 2k + 1}$

Για να ισχύει η σχέση που θέλουμε, πρέπει: $\displaystyle \overrightarrow {OC} \cdot \overrightarrow {OD} = |\overrightarrow {OC} | \cdot |\overrightarrow {OD} |\cos 45^\circ$

$\displaystyle 2({k^2} + k - 1) = \sqrt {2({k^2} + 2k + 2)(2{k^2} - 2k + 1)}$ με τον περιορισμό $\displaystyle {k^2} + k - 1 > 0.$

Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνω, $\displaystyle 2k(2{k^2} - 3k - 2) = 0 \Leftrightarrow k = 0 \vee k = - \frac{1}{2} \vee k = 2$

Η μόνη λύση που πληροί τον περιορισμό είναι $\boxed{k=2}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 26, 2022 11:34 am
Ο συντελεστής.pngΥπάρχει πραγματικός , ώστε τα διανύσματα : $\vec{OC}=\vec{OA}+k\vec{OB}$ και : $\vec{OD}=k\vec{OA}-\vec{OB}$ , να σχηματίζουν γωνία ;

Έστω , $\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow b = \overrightarrow {OB} \,$ . Τότε , $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {OC} = \left( {3k + 5,1 - 2k} \right) \hfill \\ \overrightarrow {OD} = \left( {5k - 3,k + 2} \right) \hfill \\ \overrightarrow {CD} = \left( {2k - 8,3k + 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Αρκεί να δείξω ότι υπάρχει $k \in \mathbb{R}$ , έτσι ώστε ταυτόχρονα :

: ο συντελεστής.png (19.45 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {CD} \cdot \overrightarrow {OD} = 0 \hfill \\ C{D^2} = O{D^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 13\left( {{k^2} - 3k + 2} \right) = 0 \hfill \\ 13\left( {{k^2} - 4} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{k = 2}$

#4

Ο συντελεστής

Ο συντελεστής

Re: Ο συντελεστής

Re: Ο συντελεστής

Re: Ο συντελεστής

Μέλη σε σύνδεση