Ομαλή ελαχιστοποίηση
Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας
Ομαλή ελαχιστοποίηση
στα . Υποδείξτε στην πολεοδομία πως να φέρει αυτή την ευθεία , ώστε
το οικόπεδο που θα παραμείνει λευκό , να είναι όσο το δυνατόν μεγαλύτερο σε εμβαδόν .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ομαλή ελαχιστοποίηση
Ισοδύναμα θέλουμε το ελάχιστο γαλάζιο τρίγωνο. Έστω λοιπόν (τα τελευταία βγαίνουν από το σχήμα, π.χ. το είναι χαμηλότερα από το και λοιπά). Άρα τα είναι τα που από την συνθήκη συνευθειακότητας των έχουμε (κοιτάμε τις κλίσεις) , δηλαδή .
To το γαλάζιο εμβαδόν είναι το οποίο είναι με ισότητα όταν (η ανισότητα ισοδυναμεί με τη ).
Άρα το μέγιστο ζητούμενο εμβαδόν είναι .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ομαλή ελαχιστοποίηση
Kαλησπέρα σε όλους.
Στρίβουμε το σχήμα ώστε , οπότε .
Προφανώς η ευθεία δεν είναι κατακόρυφη ή οριζόντια.
Έστω πλάγια ευθεία , που διέρχεται από το και τέμνει τους άξονες στα αντίστοιχα.
Τότε, για να είναι εσωτερικά των πλευρών του τριγώνου τα πρέπει και αρκεί
Τότε
.
Επειδή το γινόμενο των θετικών όρων είναι σταθερό, το άθροισμά τους έχει ελάχιστο όταν γίνουν ίσοι (αν γίνεται, λόγω των περιορισμών).
Είναι , οπότε , οπότε .
Οι πολεοδόμοι θα ξαναστρίψουν το σχήμα και θα σημειώσουν στο οικόπεδο με κάτω δεξιά γωνία το , το δρόμο να περνά από τα . Το λευκό οικόπεδο θα έχει μέγιστο εμβαδόν ίσο με .
Στρίβουμε το σχήμα ώστε , οπότε .
Προφανώς η ευθεία δεν είναι κατακόρυφη ή οριζόντια.
Έστω πλάγια ευθεία , που διέρχεται από το και τέμνει τους άξονες στα αντίστοιχα.
Τότε, για να είναι εσωτερικά των πλευρών του τριγώνου τα πρέπει και αρκεί
Τότε
.
Επειδή το γινόμενο των θετικών όρων είναι σταθερό, το άθροισμά τους έχει ελάχιστο όταν γίνουν ίσοι (αν γίνεται, λόγω των περιορισμών).
Είναι , οπότε , οπότε .
Οι πολεοδόμοι θα ξαναστρίψουν το σχήμα και θα σημειώσουν στο οικόπεδο με κάτω δεξιά γωνία το , το δρόμο να περνά από τα . Το λευκό οικόπεδο θα έχει μέγιστο εμβαδόν ίσο με .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ομαλή ελαχιστοποίηση
Καλησπέρα!
Με τους συμβολισμούς του σχήματος κι επειδή θα είναι
Για να έχει λύση αυτή η δευτεροβάθμια εξίσωση θα πρέπει
Άρα, οπότε όταν
Με τους συμβολισμούς του σχήματος κι επειδή θα είναι
Για να έχει λύση αυτή η δευτεροβάθμια εξίσωση θα πρέπει
Άρα, οπότε όταν
Re: Ομαλή ελαχιστοποίηση
Ανάλυση
Έστω λυμένο το πρόβλημα. Ας είναι οι προβολές του στις ,
ενώ η προβολή του στην . Θέτω
Αρκεί να γίνει ελάχιστο το . Αλλά
Επειδή
όθεν η γίνεται : .
Επειδή σταθερό , το άθροισμα γίνεται ελάχιστο όταν .
Τότε : και άρα το υπόλοιπο του τετραγώνου θα είναι
Για την κατασκευή . , γνωστή και απλή άσκηση .
Παρόμοια είναι η αντιμετώπιση κι όταν η γωνία δεν είναι ορθή ( είναι όμως σταθερή) γνωστή άσκηση που έχει τεθεί στο ακαδημαϊκό απολυτήριο το 1966. χθες ή προχθές μας απασχόλησε πάλι.
Έστω λυμένο το πρόβλημα. Ας είναι οι προβολές του στις ,
ενώ η προβολή του στην . Θέτω
Αρκεί να γίνει ελάχιστο το . Αλλά
Επειδή
όθεν η γίνεται : .
Επειδή σταθερό , το άθροισμα γίνεται ελάχιστο όταν .
Τότε : και άρα το υπόλοιπο του τετραγώνου θα είναι
Για την κατασκευή . , γνωστή και απλή άσκηση .
Παρόμοια είναι η αντιμετώπιση κι όταν η γωνία δεν είναι ορθή ( είναι όμως σταθερή) γνωστή άσκηση που έχει τεθεί στο ακαδημαϊκό απολυτήριο το 1966. χθες ή προχθές μας απασχόλησε πάλι.
- nickchalkida
- Δημοσιεύσεις: 312
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
- Επικοινωνία:
Re: Ομαλή ελαχιστοποίηση
Παρατήρηση (όχι απόδειξη) :
Αν κατασκευάσουμε την υπερβολή με ασυμπτώτους τους άξονες συντεταγμένων που διέρχεται από το , (γνωστή κατασκευή)
τότε το ελάχιστο τρίγωνο προσδιορίζεται από τους άξονες και την εφαπτομένη της υπερβολής στο .
(Νομίζω η προηγούμενη λύση του Νίκου προσεγγίζει αυτή την αντιμετώπιση)
Αν κατασκευάσουμε την υπερβολή με ασυμπτώτους τους άξονες συντεταγμένων που διέρχεται από το , (γνωστή κατασκευή)
τότε το ελάχιστο τρίγωνο προσδιορίζεται από τους άξονες και την εφαπτομένη της υπερβολής στο .
(Νομίζω η προηγούμενη λύση του Νίκου προσεγγίζει αυτή την αντιμετώπιση)
- Συνημμένα
-
- rsz_omalomin12.png (88.96 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές
Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες