Από σταθερό σημείο σταθερής ευθείας

[KARKAR]

Από σταθερό σημείο σταθερής ευθείας.png (7.28 KiB) Προβλήθηκε 590 φορές

Τα είναι σταθερά σημεία των ημιαξόνων αντίστοιχα . Τα κινούνται στους ίδιους ημιάξονες ,

έτσι ώστε : . Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του τμήματος διέρχεται από σταθερό σημείο .

Δείξτε επίσης ότι για οποιεσδήποτε θέσεις των , το σημείο , βρίσκεται σε σταθερή ευθεία .

[Mihalis_Lambrou]

Από σταθερό σημείο σταθερής ευθείας.pngΤα είναι σταθερά σημεία των ημιαξόνων αντίστοιχα . Τα κινούνται στους ίδιους ημιάξονες ,

έτσι ώστε : . Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του τμήματος διέρχεται από σταθερό σημείο .

Δείξτε επίσης ότι για οποιεσδήποτε θέσεις των , το σημείο , βρίσκεται σε σταθερή ευθεία .

Πρώτα απ' όλα ας μαντέψουμε το σημείο: Έστω οι συντεταγμένες των δοθέντων σημείων είναι οι . Παίρνοντας

α) το στο , το αντίστοιχο είναι το και η μεσοκάθετος είναι η ,

β) το στο , το αντίστοιχο είναι το και η μεσοκάθετος είναι η

Οι δύο τέμνονται στο , οπότε μένει να ελέγξουμε ότι το είναι σημείο διεύλευσης όλων των εν λόγω ευθειών.

Έστω λοιπόν για δοθέν τα σημεία και . Από την κλίση της βρίσκουμε την εξίσωση της μεσοκαθέτου, η οποία είναι η



Εύκολα τώρα ελέγχουμε ότι το την ικανοποιεί. ό.ε.δ.

[S.E.Louridas]

Και μία άλλη άποψη μετά από την άριστη παρέμβαση του Μιχάλη.

Παρατηρούμε ότι Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο που τέμνει την μεσοκάθετη του στο σημείο , θεωρούμε εδώ ως εκείνο που βρίσκεται προς το ίδιο μέρος με το ως προς την ευθεία οπότε η ευθεία είναι η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας
Αν είναι η προβολή του στην τότε από το Θεώρημα Mac Laurin έχουμε και βέβαια αν τα είναι δεδομένα, τότε, το σημείο είναι σταθερό άρα και το σημείο θα είναι σταθερό, ως τομή δύο σταθερών ευθειών, της εξωτερικής διχοτόμου και της κάθετης από το στην ευθεία
Για το δεύτερο ερώτημα τα σημεία θα κείνται στην διχοτόμο που είναι καθαρό ότι είναι σταθερή ευθεία.

(*)
Παρατήρηση:
Θεωρώ ότι δεν είναι υποχρεωτικό η γωνία να είναι ορθή.

12.png (57.29 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

edit: Τοποθέτηση του σχήματος

[Doloros]

Θεωρούμενα σταθερά τα το μέσο του είναι σταθερό και άρα η ευθεία είναι σταθερή , παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας , ευθείας .

Τα σημεία που η ευθεία τέμνει τις ευθείες είναι σταθερά.

Η κάθετος στο επί την είναι σταθερή και έστω το σημείο τομής της με την, μεταβλητή, μεσοκάθετο του .

Το τετράπλευρο προφανώς είναι εγγράψιμο, άρα η και έτσι το είναι ισοσκελές ορθογώνιο .

Τώρα προκύπτει ότι ο κύκλος διαμέτρου θα περνά προφανώς από το αλλά και από το , με άμεση συνέπεια η να είναι μεσοκάθετος του

Απο σταθερό σημείο σταθερής ευθείας.png (32.8 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

που έχει σαν συνέπεια το τετράπλευρο να είναι τετράγωνο και το να είναι σημείο της διχοτόμου

της δεύτερης και τέταρτης γωνίας των ευθειών .

Δηλαδή αν τα σημεία είναι σταθερά το σημείο είναι σταθερό: ( )

Ενώ αν τα είναι σταθερά και τα ελεύθερα ( αλλά ) Το διαγράφει τη σταθερή ευθεία και περνά από το .

[S.E.Louridas]

Καλημέρα Καλημέρα.
Επίλυση του γενικότερου προβλήματος:
Τα είναι σταθερά σημεία των πλευρών γωνίας , αντίστοιχα . Τα κινούνται στις πλευρές αντίστοιχα, έτσι ώστε να ισχύει : .
Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του τμήματος διέρχεται από σταθερό σημείο Δείξτε επίσης ότι για οποιεσδήποτε θέσεις των το σημείο βρίσκεται σε σταθερή ευθεία

Παρατηρούμε ότι Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο που τέμνει την μεσοκάθετη του στο σημείο , θεωρούμε εδώ ως εκείνο που βρίσκεται προς το ίδιο μέρος με το ως προς την ευθεία οπότε η ευθεία είναι η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας
Αν είναι η προβολή του στην τότε από το Θεώρημα Mac Laurin έχουμε: και βέβαια αν τα είναι δεδομένα, τότε, το σημείο είναι σταθερό άρα και το σημείο θα είναι σταθερό, ως τομή δύο σταθερών ευθειών, της εσωτερικής διχοτόμου και της κάθετης από το στην ευθεία Για το δεύτερο ερώτημα τα σημεία θα κείνται στην εξωτερική διχοτόμο που είναι καθαρό ότι είναι σταθερή ευθεία.

12.png (65.01 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές