Κοντινός τόπος

KARKAR · #1

: Κοντινός τόπος.png (8.98 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές

Το

είναι σημείο του επιπέδου και τα A , B

σημεία των δύο αξόνων , ώστε : $SA \perp SB$ .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου

του τμήματος

και το ελάχιστο του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 30, 2021 6:46 pm
Κοντινός τόπος.pngΤο είναι σημείο του επιπέδου και τα σημεία των δύο αξόνων , ώστε : $SA \perp SB$ .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος και το ελάχιστο του τμήματος .

: Κοντινός τόπος.png (14.42 KiB) Προβλήθηκε 450 φορές

$\displaystyle MO = MS = \frac{{AB}}{2},$ άρα το

κινείται στη μεσοκάθετο του OS.

$\displaystyle SM \ge SN \Leftrightarrow$ $\boxed{S{M_{\min }} = \frac{{\sqrt {{k^2} + {m^2}} }}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 30, 2021 6:46 pm
Κοντινός τόπος.pngΤο είναι σημείο του επιπέδου και τα σημεία των δύο αξόνων , ώστε : $SA \perp SB$ .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος και το ελάχιστο του τμήματος .

Ας το δούμε και με Αναλυτική Γεωμετρία, αν και η μέθοδος εδώ υστερεί της Γεωμετρικής. Είναι όμως διδακτική.

Αν M(x,y)

οι συντεταγμένες του

τότε είναι $A(2x,0),\, B(0,2y)$ . Η συνθήκη καθετότητας $SA \perp SB$ γίνεται $\dfrac {m-0}{k-2x}\cdot \dfrac {2y-m}{0-k}=-1$ . Άρα $\displaystyle{\boxed{kx+my= \frac {1}{2}(k^2+m^2) }}$ (ευθεία).

Για το ελάχιστο έχουμε

SM^2 = (k-x)^2+(m-y)^2 = k^2+m^2-2(kx+my) + x^2+y^2= k^2+m^2-(k^2+m^) + x^2+y^2 = x^2+y^2

Τώρα, από Cauchy-Schwarz, $\frac {1}{2}(k^2+m^2)= |kx+my| \le \sqrt{k^2+m^2}\sqrt {x^2+y^2} = \sqrt{k^2+m^2}SM$ , άρα $SM \ge \frac {1}{2} \sqrt{k^2+m^2}$ , με ισότητα όταν $x=k/2,\, y=m/2$

Κοντινός τόπος

Κοντινός τόπος

Re: Κοντινός τόπος

Re: Κοντινός τόπος

Μέλη σε σύνδεση