Ελάχιστο αθροίσματος

KARKAR · #1

: Ελάχιστο αθροίσματος.png (8.09 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Οι προβολές σημείου

, του κύκλου : (x-5)^2+(y-3)^2=4

, στους δύο άξονες ,

είναι τα σημεία

και

. Υπολογίστε το ελάχιστο του αθροίσματος : OP+OT

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 19, 2021 8:26 pm
Ελάχιστο αθροίσματος.pngΟι προβολές σημείου , του κύκλου : , στους δύο άξονες ,

είναι τα σημεία και . Υπολογίστε το ελάχιστο του αθροίσματος : .

: Ελάχιστο αθροίσματος.png (22.9 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

Αν φέρω την εφαπτομένη του κύκλου στο

για να έχω την μικρότερη διαδρομή

«φωτός» από το

, σημείο του κατακόρυφου άξονα, με πρόσπτωση στην

εφαπτομένη στο σημείο

( κοινό σημείο κύκλου και ευθείας) και ανάκλαση μέχρι

τον οριζόντιο άξονα , θα πρέπει η γωνία προσπτώσεως να ισούται με αυτή της

ανακλάσεως , οπότε αρκεί να φέρω από το κέντρο

του δεδομένου κύκλου ,

παράλληλη προς την διχοτόμο της γωνίας $\widehat {xOy}$ .

Το κοντινότερο προς τους άξονες σημείο τομής

είναι αυτό που θέλω .

Τότε η $KS \to y = x - 2$ και το $S:\,\,\left\{ \begin{gathered} y = x - 2 \hfill \\ {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow S\left( {5 - \sqrt 2 ,3 - \sqrt 2 } \right)$ και

${\left( {ST + SP} \right)_{\min }} = 5 - \sqrt 2 + 3 - \sqrt 2 = 2\left( {4 - \sqrt 2 } \right)$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 19, 2021 8:26 pm
Ελάχιστο αθροίσματος.pngΟι προβολές σημείου , του κύκλου : , στους δύο άξονες ,

είναι τα σημεία και . Υπολογίστε το ελάχιστο του αθροίσματος : .

Θέλουμε το ελάχιστο του x+y

με δοδεμένο ότι (x-5)^2+(y-3)^2=4

.

Από Cauchy-Schwarz έχουμε $|(x-5)+(y-3)| \le \sqrt 2 \sqrt {(x-5)^2+(y-3)^2} = \sqrt 2\sqrt 4 = 2\sqrt 2$ . Άρα

$x+y= 8+(x-5)+(y-3) \ge 8 -2\sqrt 2$ με ισότητα όταν $x=5 - \sqrt 2 ,\, y=3 - \sqrt 2$ .

#4

Να πω απλώς ότι η παράσταση $\displaystyle OP + OT$ έχει και μέγιστη τιμή η οποία προκύπτει από την συνάρτηση

$\displaystyle f(x) = x + 3 + \sqrt {4 - {{(x - 5)}^2}}$ και είναι $\boxed{{(OP + OT)_{\max }} = 8 + 2\sqrt 2}$ για $\boxed{x=5+\sqrt 2}$

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 20, 2021 10:14 am
Να πω απλώς ότι η παράσταση $\displaystyle OP + OT$ έχει και μέγιστη τιμή

Σωστά. Η μέθοδος που έγραψα ουσιαστικά το δείχνει αυτό. Παραθέτω το τελευταίο βήμα, με την κατάλληλη προσαρμογή:

$x+y= 8+(x-5)+(y-3) \le 8 +2\sqrt 2$ με ισότητα όταν $x=5 + \sqrt 2 ,\, y=3 + \sqrt 2$ .

#6

Στο αντιδιαμετρικό του

έχω τη μέγιστη τιμή του αθροίσματος .

nickchalkida · #7

Ακόμα μία τριγωνομετρική οπτική. Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου (με παράμετρο την γωνία $\widehat{\alpha}$ είναι

$\displaystyle{ \left \{ \begin{aligned} & x = 5 + 2\cos\alpha \cr & y = 3 + 2\sin\alpha \cr \end{aligned} \right. }$

όπου $0 \leq \alpha \leq 2\pi$ , είναι τότε

$\displaystyle{ (TS + SP)_{min} = (5+2\cos\alpha + 3 + 2\sin\alpha)_{min} }$

αλλά το $2\cos\alpha + 2\sin\alpha$ ελαχιστοποιείται όταν $\alpha = 5\pi/4$ , οπότε θα είναι

$\displaystyle{ (TS + SP)_{min} = 5 + 2 \left( -{\sqrt{2}\over 2} \right) + 3 + 2 \left( -{\sqrt{2}\over 2} \right) = 8-2\sqrt{2} }$

Ελάχιστο αθροίσματος

Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση