Υπερβολικές απαιτήσεις

KARKAR · #1

: Υπερβολικές απαιτήσεις.png (14.85 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

Το τετράγωνο ABCD

έχει κέντρο την αρχή των αξόνων , πλευρές παράλληλες προς του άξονες και κορυφές

σημεία της υπερβολής με εξίσωση : $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ . α) Βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής

.

β) Σημείο

κινείται στον δεξιό κλάδο της κωνικής . Οι ημιευθείες BT , DT

, τέμνουν τις ευθείες AD , AB

στα σημεία P , S

αντίστοιχα . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{AP}$ . ( Άσκηση με αφορμή αυτήν )

abgd · #2

Θα είναι
$A(k,k), \ \ k>0$
και
$\displaystyle \frac{k^2}{a^2}-\frac{k^2}{b^2}=1 \ \ \bf{(1)} \ \ \Rightarrow k=\frac{ab}{\sqrt{b^2-a^2}}$ ,
εφόσον $\displaystyle b>a$

Έστω K,L

οι προβολές του

πάνω στις

αντίστοιχα και T(x,y)

, οπότε $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \ \ \bf{(2)}$
Είναι
$\displaystyle \frac{AS}{TK}=\frac{DA}{DK} \Rightarrow \frac{AS}{k-x}=\frac{2k}{k+y} \ \ \bf(3)$
και
$\displaystyle \frac{AP}{TL}=\frac{AB}{BL} \Rightarrow \frac{AP}{k-y}=\frac{2k}{k+x} \ \ \bf(4)$

Διαιρώντας τις $\displaystyle \bf (3), (4)$ κατά μέλη:

$\displaystyle \frac{AS}{AP}=\frac{k^2-x^2}{k^2-y^2}=\frac{a^2\left(\frac{k^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2}\right)}{b^2\left(\frac{k^2}{b^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)}=\frac{a^2}{b^2}$
εφόσον, εξισώνοντας τις $\displaystyle \bf (1), (2)$ έχουμε
$\displaystyle \frac{k^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2}=\frac{k^2}{b^2}-\frac{y^2}{b^2}$

Υπερβολικές απαιτήσεις

Υπερβολικές απαιτήσεις

Re: Υπερβολικές απαιτήσεις

Μέλη σε σύνδεση