Κύκλος , ευθεία και γωνία

KARKAR · #1

: Κύκλος , ευθεία και γωνία.png (15.25 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές

Ο κύκλος $(K, \rho)$ με εξίσωση : $x^2+2\lambda x+y^2-4\lambda y-11=0$ , τέμνεται από

την ευθεία $y=4\lambda$ , στα σημεία S , T

. Βρείτε το $\lambda$ , ώστε να είναι : $\widehat{SKT}=120^0$ .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 09, 2021 6:55 am
Κύκλος , ευθεία και γωνία.pngΟ κύκλος $(K, \rho)$ με εξίσωση : $x^2+2\lambda x+y^2-4\lambda y-11=0$ , τέμνεται από

την ευθεία $y=4\lambda$ , στα σημεία . Βρείτε το $\lambda$ , ώστε να είναι : $\widehat{SKT}=120^0$ .

Από τη λύση του συστήματος $x^{2}+2\lambda x+y^{2}-4\lambda y-11=0,y=4\lambda$

προκύπτουν οι συντεταγμένες των σημείων $S(-\lambda -\sqrt{\lambda ^{2}+11},-4\lambda -4\sqrt{\lambda ^{2}+11}), T(-\lambda +\sqrt{\lambda ^{2}+11},-4\lambda +4\sqrt{\lambda ^{2}+11}),$

Είναι

$KN\perp ST,SN=NT,\hat{NKT}=60^{0},KT=R=2KN,N(-\lambda ,-4\lambda ), R=\sqrt{5\lambda ^{2}+11}, K(-\lambda ,2\lambda ),\sqrt{5\lambda ^{2}+11}=4\lambda \Rightarrow \lambda =1,\lambda >0$

#3

Η εξίσωση του κύκλου με συμπλήρωση τετραγώνου γράφεται :

: Κύκλος ευθεία και γωνία.png (18.41 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές

${\left( {x + \lambda } \right)^2} + {\left( {y - 2\lambda } \right)^2} = 5{\lambda ^2} + 11$ . Για να έχω γωνία $\widehat {SKT} = 120^\circ$ πρέπει και αρκεί η

ευθεία με εξίσωση $y = 4\lambda$ να είναι μεσοκάθετος στην ακτίνα

που είναι παράλληλη στον κατακόρυφο άξονα

.

Συνεπώς η ακτίνα του κύκλου , $\sqrt {5{\lambda ^2} + 11} = 2\left| \lambda \right| \Leftrightarrow \boxed{\lambda = \pm 1}$

: Κύκλος ευθεία και γωνία_extra.png (23.27 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές

Christos.N · #4

Το σημείο τομής προκύπτει από την εξίσωση

$x^2+2\lambda x-11=0$

Εμείς ζητάμε την απόσταση που είναι ισοδύναμο με την |x_1-x_2|

Με την βοήθεια των τύπων του Vieta είναι $|x_1-x_2|=\sqrt{S^2-4P}=2\sqrt{\lambda^2+11}$

Γνωρίζουμε ότι η χορδή κύκλου που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 120^o

είναι $l_3= \sqrt{3}R$

Ενώ η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με $R=\sqrt{5\lambda^2+11}$

Επειδή |x_1-x_2|=l_3

έχουμε $2\sqrt{\lambda^2+11}=\sqrt{3}\sqrt{5\lambda^2+11}$ όπου λύση της τελευταίας είναι η $|\lambda|=1$

Κύκλος , ευθεία και γωνία

Κύκλος , ευθεία και γωνία

Re: Κύκλος , ευθεία και γωνία

Re: Κύκλος , ευθεία και γωνία

Re: Κύκλος , ευθεία και γωνία

Μέλη σε σύνδεση