Κύκλος , ευθεία και γωνία

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κύκλος , ευθεία και γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιουν 09, 2021 6:55 am

Κύκλος , ευθεία  και γωνία.png
Κύκλος , ευθεία και γωνία.png (15.25 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές
Ο κύκλος (K, \rho) με εξίσωση : x^2+2\lambda x+y^2-4\lambda y-11=0 , τέμνεται από

την ευθεία y=4\lambda , στα σημεία S , T . Βρείτε το \lambda , ώστε να είναι : \widehat{SKT}=120^0 .



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2099
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Κύκλος , ευθεία και γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Ιουν 09, 2021 8:01 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιουν 09, 2021 6:55 am
Κύκλος , ευθεία και γωνία.pngΟ κύκλος (K, \rho) με εξίσωση : x^2+2\lambda x+y^2-4\lambda y-11=0 , τέμνεται από

την ευθεία y=4\lambda , στα σημεία S , T . Βρείτε το \lambda , ώστε να είναι : \widehat{SKT}=120^0 .
Από τη λύση του συστήματος x^{2}+2\lambda x+y^{2}-4\lambda y-11=0,y=4\lambda


προκύπτουν οι συντεταγμένες των σημείων S(-\lambda -\sqrt{\lambda ^{2}+11},-4\lambda 

-4\sqrt{\lambda ^{2}+11}), T(-\lambda +\sqrt{\lambda ^{2}+11},-4\lambda +4\sqrt{\lambda ^{2}+11}),

Είναι

KN\perp ST,SN=NT,\hat{NKT}=60^{0},KT=R=2KN,N(-\lambda ,-4\lambda ),

        R=\sqrt{5\lambda ^{2}+11},

 K(-\lambda ,2\lambda ),\sqrt{5\lambda ^{2}+11}=4\lambda \Rightarrow \lambda =1,\lambda >0
Συνημμένα
Κύκλος ,ευθεία και γωνία.png
Κύκλος ,ευθεία και γωνία.png (45.56 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κύκλος , ευθεία και γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιουν 09, 2021 9:58 am

Η εξίσωση του κύκλου με συμπλήρωση τετραγώνου γράφεται :
Κύκλος ευθεία και γωνία.png
Κύκλος ευθεία και γωνία.png (18.41 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
{\left( {x + \lambda } \right)^2} + {\left( {y - 2\lambda } \right)^2} = 5{\lambda ^2} + 11. Για να έχω γωνία \widehat {SKT} = 120^\circ πρέπει και αρκεί η

ευθεία με εξίσωση y = 4\lambda να είναι μεσοκάθετος στην ακτίνα KA που είναι παράλληλη στον κατακόρυφο άξονα Oy.

Συνεπώς η ακτίνα του κύκλου , \sqrt {5{\lambda ^2} + 11}  = 2\left| \lambda  \right| \Leftrightarrow \boxed{\lambda  =  \pm 1}
Κύκλος ευθεία και γωνία_extra.png
Κύκλος ευθεία και γωνία_extra.png (23.27 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Κύκλος , ευθεία και γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Ιουν 09, 2021 1:41 pm

Το σημείο τομής προκύπτει από την εξίσωση

x^2+2\lambda x-11=0

Εμείς ζητάμε την απόσταση που είναι ισοδύναμο με την |x_1-x_2|

Με την βοήθεια των τύπων του Vieta είναι |x_1-x_2|=\sqrt{S^2-4P}=2\sqrt{\lambda^2+11}

Γνωρίζουμε ότι η χορδή κύκλου που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 120^o είναι l_3=  \sqrt{3}R

Ενώ η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με R=\sqrt{5\lambda^2+11}

Επειδή |x_1-x_2|=l_3 έχουμε 2\sqrt{\lambda^2+11}=\sqrt{3}\sqrt{5\lambda^2+11} όπου λύση της τελευταίας είναι η |\lambda|=1


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης