Ώρα εφαπτομένης 101

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 101

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 22, 2021 6:57 pm

Ώρα εφαπτομένης  101.png
Ώρα εφαπτομένης 101.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Σε σημείο S της έλλειψης του σχήματος , φέρουμε εφαπτομένη . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της \tan\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 101

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 22, 2021 7:52 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 22, 2021 6:57 pm
Σε σημείο S της έλλειψης του σχήματος , φέρουμε εφαπτομένη . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της \tan\theta .
Η εφαπτομένη στο σημείο (x_0,y_0) της έλλειψης \displaystyle{\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2} = 1} είναι η \displaystyle{\dfrac {xx_0}{a^2}+\dfrac {yy_0}{b^2} = 1}, η οποία έχει κλίση \displaystyle{-\dfrac {x_0b^2}{y_0a^2}}.

Από τον τύπο της γωνίας δύο ευθειών, είναι

\tan \theta = \dfrac {  \dfrac {y_0}{x_0} + \dfrac {x_0b^2}{y_0a^2}}{ 1- \dfrac {y_0}{x_0} \cdot \dfrac {x_0b^2}{y_0a^2}}= \dfrac {   \dfrac {x_0^2b^2+y_0^2a^2}{x_0y_0a^2}  }{ 1-  \dfrac {b^2}{a^2}}=\dfrac {   \dfrac {a^2b^2}{x_0y_0a^2}  }{  \dfrac {a^2-b^2}{a^2}}=   \dfrac {a^2b^2}{a^2-b^2}  }{  \dfrac {1}{x_0y_0}}

Οπότε αναγώμαστε στην εύρεση του μεγίστου του  \dfrac {x_0}{a} \cdot \dfrac {y_0}{b} το οποίο είναι βέβαια

\le \dfrac {1}{2}\left ( \dfrac {x_0^2}{a^2}+\dfrac {y_0^2}{b^2}\right ) = \dfrac {1}{2}, και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ώρα εφαπτομένης 101

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Παρ Απρ 23, 2021 11:26 am

Γεωμετρική κατασκευή: Βρίσκω το μέσον E της AC,
και S είναι το σημείο τομής της έλλειψης με την εκ του κέντρου OE. (2^ο τεταρτημόριο)

Επειδή είιναι \displaystyle \tan \theta_1 = {GL \over SL} και \displaystyle \tan \theta_2 = {LO \over SL}, και για κάθε σημείο της έλλειψης ισχύει \displaystyle {GL \cdot LO \over SL^2} = {b^2 \over a^2}
άρα θα είναι \tan \theta_1 \cdot \tan \theta_2 = ct. Τότε λοιπόν

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
\left( \tan( \theta_1 +  \theta_2) \right)_{min} &= \left( { \tan \theta_1 +  \tan \theta_2 \over 1 -  \tan \theta_1  \tan \theta_2}  \right)_{min} \cr 
&= \left( \tan \theta_1 + \tan \theta_2 \right)_{min} 
\end{aligned} 
}

διότι 1 -  \tan \theta_1  \tan \theta_2 = ct. Και πάλι επειδή \tan \theta_1  \tan \theta_2 = ct συμπεραίνουμε ότι  \left( \tan \theta_1 + \tan \theta_2 \right)_{min} συμβαίνει όταν

\displaystyle{ 
\tan \theta_1 = \tan \theta_2 = {b \over a} 
}

Η ευθεία τότε OE έχει την μορφή \displaystyle y = -{b \over a}x , και επιλύοντας το σύστημα με την έλλειψη βρίσκω \displaystyle S\left({a\sqrt{2}\over 2}, {b\sqrt{2}\over 2}\right).
Συνημμένα
rsz_tan101.png
rsz_tan101.png (32.79 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης