Γόνιμος τόπος

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12464
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γόνιμος τόπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 22, 2021 1:42 pm

Γόνιμος  τόπος.png
Γόνιμος τόπος.png (8.64 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές
Πάνω στον ημιάξονα Ox , βρίσκεται σταθερό σημείο A . Θεωρούμε σημείο T του Ox , δεξιότερα του A

και σημείο S της ημιευθείας y=\lambda x , \lambda >0 , x>0 , τέτοια ώστε : AT=OS=x , x μεταβλητό .

Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου , του μέσου M του τμήματος ST .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7833
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γόνιμος τόπος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Φεβ 22, 2021 11:45 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 22, 2021 1:42 pm
Γόνιμος τόπος.pngΠάνω στον ημιάξονα Ox , βρίσκεται σταθερό σημείο A . Θεωρούμε σημείο T του Ox , δεξιότερα του A

και σημείο S της ημιευθείας y=\lambda x , \lambda >0 , x>0 , τέτοια ώστε : AT=OS=x , x μεταβλητό .

Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου , του μέσου M του τμήματος ST .
Γόνιμος τόπος.png
Γόνιμος τόπος.png (14.1 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές
Ας είναι S(s,\lambda s)\,\,\,,\,\,T\left( {t,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,M\left( {x,y} \right)\, με : s > 0\,\,,\,\,t > a > 0 .

OS = AT \Rightarrow s\sqrt {{\lambda ^2} + 1}  = t - a\,\,\left( 1 \right) και \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{t + s}}{2} \hfill \\ 
  y = \frac{{\lambda s}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  t = 2x - s \hfill \\ 
  s = \frac{{2y}}{\lambda } \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  t = 2x - \frac{{2y}}{\lambda } \hfill \\ 
  s = \frac{{2y}}{\lambda } \hfill \\  
\end{gathered}  \right..

Έτσι η \left( 1 \right) δίδει: \boxed{\lambda x - \left( {1 + \sqrt {{\lambda ^2} + 1} } \right)y - \frac{{a\lambda }}{2} = 0},

ημιευθεία με αρχή το μέσο N του OA και μέσα στο πρώτο τεταρτημόριο .

Για \lambda  = 2 η ευθεία έχει χρυσή κλίση.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10364
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γόνιμος τόπος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 23, 2021 9:40 am

Αφού απαντήθηκε, ας τη δούμε και χωρίς Καρτέσιο.
Γόνιμος τόπος.png
Γόνιμος τόπος.png (15.68 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Φέρνω τη διχοτόμο (\delta) της S\widehat OT που τέμνει την ST στο D και από το A την \epsilon||\delta που τέμνει την ST

στο E. Προφανώς οι ευθείες (\delta), (\epsilon) είναι σταθερές. Λόγω της διχοτόμου και της παραλληλίας είναι:

\displaystyle \frac{{SD}}{{DT}} = \frac{{OS}}{{OT}} = \frac{x}{{a + x}} =\dfrac{TA}{TO}= \frac{{ET}}{{DT}} \Leftrightarrow SD = ET. Άρα το M είναι μέσο και του DE.

Αν λοιπόν N είναι το μέσο του OA τότε η ημιευθεία NM (μεσοπαράλληλη των (\delta), (\epsilon)) είναι ο ζητούμενος τόπος.



\displaystyle  \bullet Αν τώρα θέλουμε και την Καρτεσιανή εξίσωση, τότε αν \displaystyle \lambda  = \tan \omega, ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας του τόπου

θα είναι \displaystyle \tan \frac{\omega }{2}>0 απ' όπου προκύπτει \displaystyle \frac{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1}  - 1}}{2}. Άρα η εξίσωση είναι \boxed{y = \frac{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1}  - 1}}{2}\left( {x - \frac{a}{2}} \right)}
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τρί Φεβ 23, 2021 11:02 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Γόνιμος τόπος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τρί Φεβ 23, 2021 11:00 am

Επειδή η άσκηση άπτεται της φυσικής, δίνω και μία "φυσική" προσέγγιση.
Θεωρώ το κινητό S που ξεκινά από την αρχή των αξόνων κινούμενο με ευθύγραμμη ομαλή ταχύτητα u και συντελεστή διεύθυνσης \lambda,
το κινητό T που ξεκινά από το σημείο (a,0) κινούμενο επί του O_x με ομαλή ταχύτητα v=u
και θα θεωρήσω δεδομένο ότι η κίνηση του μέσου των δύο κινητών είναι επίσης ευθύγραμμη και ομαλή. Είναι τότε

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& 
\begin{aligned} 
& u_x = u\ \cos \theta = {u \over \sqrt{1+\lambda^2}} \cr 
& u_y = u\ \sin \theta = {u \lambda \over \sqrt{1+\lambda^2}} \cr 
\end{aligned} 
\ \ \ \ \ \ \ \ 
\begin{aligned} 
& v_x = u \cr 
& v_y = 0 \cr 
\end{aligned} 
\cr 
\end{aligned} 
}

η κίνηση τότε του μέσου M θα προσδιορίζεται από τις εξισώσεις

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& 
\left. 
\begin{aligned} 
& x = (v_x + u_x)t + {a\over 2} = ( 1 +  {1 \over \sqrt{1+\lambda^2}})ut +  {a\over 2} \cr 
& y = (v_y + u_y)t = {u \lambda t \over \sqrt{1+\lambda^2}} \cr 
\end{aligned} 
\right\} \rightarrow 
\begin{aligned} 
& x = ( 1 +  {1 \over \sqrt{1+\lambda^2}}){y \over  \lambda} \sqrt{1+\lambda^2} +  {a\over 2} \cr 
& ut = {y \over  \lambda} \sqrt{1+\lambda^2} \cr 
\end{aligned} 
\cr 
& \cr 
& 
 \rightarrow x = {y \over  \lambda}(1+\sqrt{1+\lambda^2})+ {a\over 2} \rightarrow x  \lambda -y (1+\sqrt{1+\lambda^2}) =  { \lambda a \over 2} 
\cr 
\end{aligned} 
}
Συνημμένα
rsz_velocities.png
rsz_velocities.png (27.71 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες