Τόπος μέσου

KARKAR · #1

: Τόπος μέσου.png (4.57 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές

Τμήμα

, το οποίο διέρχεται από το σημείο $\Sigma (3,2)$ , έχει τα άκρα του στους

ημιάξονες Ox , Oy

. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου

του τμήματος .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 10, 2021 2:33 pm
Τόπος μέσου.pngΤμήμα , το οποίο διέρχεται από το σημείο $\Sigma (3,2)$ , έχει τα άκρα του στους

ημιάξονες . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος .

Αν $\lambda$ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας AB,

τότε $\displaystyle AB:y = \lambda x - 3\lambda + 2.$

Οπότε $\displaystyle A\left( {\frac{{3\lambda - 2}}{\lambda },0} \right),B\left( {0,2 - 3\lambda } \right).$ Άρα οι συντεταγμένες του

είναι:

: Τόπος μέσου.Κ.png (10.26 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές

$\displaystyle x = \frac{{3\lambda - 2}}{{2\lambda }},y = \frac{{2 - 3\lambda }}{2} \Rightarrow \frac{2}{{3 - 2x}} = \lambda = \frac{{2 - 2y}}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{y=\frac{2x}{2x-3}}$

που είναι η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου με x,y>0.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 10, 2021 2:33 pm
Τόπος μέσου.pngΤμήμα , το οποίο διέρχεται από το σημείο $\Sigma (3,2)$ , έχει τα άκρα του στους

ημιάξονες . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος .

Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά .

Ας είναι $A(a,0)\,\,,\,\,B(0,b)$ . Η ευθεία

έχει εξίσωση : $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\,\,\mu \varepsilon \,\,a,b > 0\,,a \ne 3$ .

Επειδή η πιο πάνω ευθεία διέρχεται από το σταθερό $S\left( {3,2} \right)$ θα επαληθεύεται απ’ αυτό και άρα : $\dfrac{3}{a} + \dfrac{2}{b} = 1 \Leftrightarrow 2a + 3b = ab\,\,\left( 1 \right)$ .

Για κάθε σημείο M(x,y)

του γ. τόπου θα έχω: $a = 2x\, \ne 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = 2y$ οπότε η $\left( 1 \right)$ δίδει:

$2x + 3y = 2xy \Leftrightarrow \boxed{y = f(x) = \dfrac{{2x}}{{2x - 3}}}$ με $x,y > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x \ne \dfrac{3}{2}$

Παρατήρηση :

Ομογραφική συνάρτηση, κλάδος ισοσκελούς υπερβολής με ασύμπτωτες : $x = \dfrac{3}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = 1$ .

Τόπος μέσου

Τόπος μέσου

Re: Τόπος μέσου

Re: Τόπος μέσου

Μέλη σε σύνδεση