Τόπος μέσου

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12544
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τόπος μέσου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 10, 2021 2:33 pm

Τόπος  μέσου.png
Τόπος μέσου.png (4.57 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές
Τμήμα AB , το οποίο διέρχεται από το σημείο \Sigma (3,2) , έχει τα άκρα του στους

ημιάξονες Ox , Oy . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου M του τμήματος .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10455
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τόπος μέσου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Φεβ 10, 2021 4:06 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 10, 2021 2:33 pm
Τόπος μέσου.pngΤμήμα AB , το οποίο διέρχεται από το σημείο \Sigma (3,2) , έχει τα άκρα του στους

ημιάξονες Ox , Oy . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου M του τμήματος .
Αν \lambda είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας AB, τότε \displaystyle AB:y = \lambda x - 3\lambda  + 2.

Οπότε \displaystyle A\left( {\frac{{3\lambda  - 2}}{\lambda },0} \right),B\left( {0,2 - 3\lambda } \right). Άρα οι συντεταγμένες του M είναι:
Τόπος μέσου.Κ.png
Τόπος μέσου.Κ.png (10.26 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές
\displaystyle x = \frac{{3\lambda  - 2}}{{2\lambda }},y = \frac{{2 - 3\lambda }}{2} \Rightarrow \frac{2}{{3 - 2x}} = \lambda  = \frac{{2 - 2y}}{3} \Leftrightarrow \boxed{y=\frac{2x}{2x-3}}

που είναι η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου με x,y>0.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7915
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τόπος μέσου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Φεβ 10, 2021 6:22 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 10, 2021 2:33 pm
Τόπος μέσου.pngΤμήμα AB , το οποίο διέρχεται από το σημείο \Sigma (3,2) , έχει τα άκρα του στους

ημιάξονες Ox , Oy . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου M του τμήματος .
Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά .

Ας είναι A(a,0)\,\,,\,\,B(0,b) . Η ευθεία AB έχει εξίσωση : \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\,\,\mu \varepsilon \,\,a,b > 0\,,a \ne 3.

Επειδή η πιο πάνω ευθεία διέρχεται από το σταθερό S\left( {3,2} \right) θα επαληθεύεται απ’ αυτό και άρα : \dfrac{3}{a} + \dfrac{2}{b} = 1 \Leftrightarrow 2a + 3b = ab\,\,\left( 1 \right).

Για κάθε σημείο M(x,y) του γ. τόπου θα έχω: a = 2x\, \ne 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = 2y οπότε η \left( 1 \right) δίδει:


2x + 3y = 2xy \Leftrightarrow \boxed{y = f(x) = \dfrac{{2x}}{{2x - 3}}} με x,y > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x \ne \dfrac{3}{2}

Παρατήρηση :

Ομογραφική συνάρτηση, κλάδος ισοσκελούς υπερβολής με ασύμπτωτες : x = \dfrac{3}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = 1 .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες