Διανυσματικός λογισμός

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διανυσματικός λογισμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 22, 2020 8:49 am

Διανυσματικός  λογισμός.png
Διανυσματικός λογισμός.png (11.19 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές
\bigstar Στο σχήμα της άσκησης : Α) Υπολογίστε :

α) Την γωνία \hat{A} ... β) την \tan\hat{C} ... γ) το (ABC) .

Β) Βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC .



Λέξεις Κλειδιά:
StamatisGoudis
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2020 2:02 pm

Re: Διανυσματικός λογισμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από StamatisGoudis » Τρί Δεκ 22, 2020 1:41 pm

Έστω \vec{BC}=\vec{a},  \vec{AC}=\vec{b}, \vec{AB}=\vec{c}
Α. α) Είναι: \vec{c} \cdot \vec{b} = \mid \vec{c} \mid \mid \vec{b} \mid \cos{A} = (-1,-5)(6, -9) 
\Rightarrow \sqrt{26} \times 3\sqrt{13}\cos{A} = -6 + 45 \Rightarrow  
\cos{A} = \sqrt{2}/2 \Rightarrow \angle{A} = \frac{\pi}{4}

β) \vec{a} \cdot \vec{b} = \mid \vec{a} \mid \mid \vec{b} \mid \cos{C} = (7, -4)(6, -9)  
\Rightarrow \sqrt{65} \times 3\sqrt{13} \cos{C} = 42 + 36 \Rightarrow \cos{C} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
Άρα: \sec^{2}{C} = \frac{5}{4} \Rightarrow \tan^{2}{C} = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4} \Rightarrow \tan{C} = 
 1/2

γ) (ABC) = \frac{1}{2} \mid det(\vec{AB}, \vec{AC}) \mid = \frac{1}{2}(9+30) = 39/2

Β. Έστω H(x, y) το ορθοκεντρο
Επειδή \vec{AH} \perp \vec{a}: \vec{AH} \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow  (x+1, y-6)(7, -4)=0 \Rightarrow 7(x+1) - 4(y-6)=0 (1)
Ακόμη, επειδή \vec{BH} \perp \vec{b}: \vec{BH} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow (x+2, y-1)(6, -9)=0 \Rightarrow 6(x+2) - 9(y-1)= 0 (2)

Λύνοντας το σύστημα των σχέσεων (1) και (2) προκύπτει: x=-5, y=-1

Συνεπώς, το ορθοκεντρο του \Delta ABC είναι το: H(-5, -1)

(Υπάρχει επιφύλαξη ως προς τις αλγεβρικές πράξεις)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διανυσματικός λογισμός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 22, 2020 5:51 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 22, 2020 8:49 am
Διανυσματικός λογισμός.png\bigstar Στο σχήμα της άσκησης : Α) Υπολογίστε :

α) Την γωνία \hat{A} ... β) την \tan\hat{C} ... γ) το (ABC) .

Β) Βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC .
Διαν. λογισμός.png
Διαν. λογισμός.png (19.61 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
Α) Είναι \displaystyle AB = \sqrt {26} ,AC = \sqrt {117} ,BC = \sqrt {65} και με νόμο συνημιτόνων:

α) \displaystyle 65 = 143 - 2\sqrt {26} \sqrt {117} \cos A \Leftrightarrow \cos A = \frac{{78}}{{2 \cdot 3\sqrt {13}  \cdot \sqrt {13} \sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \boxed{\widehat A=45^\circ}

β) \displaystyle 26 = 182 - 2 \cdot 3\sqrt {13}  \cdot \sqrt {15} \sqrt 3 \cos C \Leftrightarrow \cos C =  \frac{{2\sqrt 5 }}{5} και \boxed{\tan C = \frac{1}{2}}

γ) \displaystyle {h_b} = d(B,AC) = \frac{{|3( - 2) + 2 \cdot 1 - 9|}}{{\sqrt {13} }} = \sqrt {13}  \Rightarrow \boxed{(ABC) = \frac{{b \cdot {h_b}}}{2} = \frac{{39}}{2}}

Β) Τα ύψη από τις κορυφές B, C έχουν εξισώσεις: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
2x - 3y + 7 = 0\\ 
x + 5y + 10 = 0 
\end{array} \right. \Leftrightarrow (x =  - 5,y =  - 1)

Άρα το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι \boxed{H(-5,-1)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης