Μια τρύπα στο νερό

KARKAR · #1

: Μια τρύπα στο νερό.png (10.4 KiB) Προβλήθηκε 771 φορές

$\bigstar$ Τα σημεία M,N

είναι τα μέσα των πλευρών AB,AC

αντίστοιχα , τριγώνου ABC

.Το

είναι

σημείο του τμήματος

, για το οποίο : SN=2SM

. Δείξτε ότι : $3\vec{SA}+2\vec{SB}+\vec{SC}=\vec{0}$ .

#2

Αν $\left( {ABC} \right) = 12E \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {SBC} \right) = 6E \hfill \\ \left( {SAC} \right) = 4E \hfill \\ \left( {SAB} \right) = 2E \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Αν $\left( {ABC} \right) = 12E \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {SBC} \right) = 6E \hfill \\ \left( {SAC} \right) = 4E \hfill \\ \left( {SAB} \right) = 2E \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Από το Θ. του Καραθεοδωρή :

$\left( {6E} \right)\overrightarrow {SA} + \left( {4E} \right)\overrightarrow {SB} + \left( {2E} \right)\overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {SA} + 2\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0$

edit

Άρση απόκρυψης και έβαλα στα μηδενικά το σύμβολο του διανύσματος που δεν είχε μπει (απροσεξία).

#3

Υπάρχει απλή λύση χωρίς χρήση του Θεωρήματος Καραθεοδωρή. Θα την γράψω, αν χρειαστεί, αφού την προσπαθήσουν οι μαθητές μας.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 24, 2020 8:29 am
Μια τρύπα στο νερό.png $\bigstar$ Τα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα , τριγώνου .Το είναι

σημείο του τμήματος , για το οποίο : . Δείξτε ότι : $3\vec{SA}+2\vec{SB}+\vec{SC}=\vec{0}$ .

$3\vec{SA}+2\vec{SB}+\vec{SC}=2(\vec{SA}+\vec{SB})+ (\vec{SA} +\vec{SC})= 4\vec{SM}+2\vec{SN} = 4\vec{SM}-4\vec{SM} =\vec{0}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 24, 2020 8:29 am
Μια τρύπα στο νερό.png $\bigstar$ Τα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα , τριγώνου .Το είναι

σημείο του τμήματος , για το οποίο : . Δείξτε ότι : $3\vec{SA}+2\vec{SB}+\vec{SC}=\vec{0}$ .

Έστω: $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow u \,\,,\,\,\overrightarrow {AN} = \overrightarrow v \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {SA} = \overrightarrow a \hfill \\ \overrightarrow {SB} = \overrightarrow b \hfill \\ \overrightarrow {SC} = \overrightarrow c \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Θεωρώ βάση το ζεύγος $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)$ και θα έχω: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {SN} + 2\overrightarrow {SM} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \overrightarrow {SN} = \overrightarrow a + \overrightarrow v = \overrightarrow c - \overrightarrow v \hfill \\ \overrightarrow {SM} = \overrightarrow a + \overrightarrow u = \overrightarrow b - \overrightarrow u \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Μια τρύπα στο νερό.png (18.32 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

Από την πρώτη και τα πρώτα σκέλη των δύο άλλων , έχω: $3\overrightarrow a = - \overrightarrow u - 2\overrightarrow {v\,} \,\,\left( 1 \right)$

Πάλι από την πρώτη και τα δεύτερα σκέλη των δύο άλλων , έχω: $\overrightarrow b + 2\overrightarrow c = \overrightarrow u + 2\overrightarrow {v\,} \,\,\left( 2 \right)$

Με πρόσθεση κατά μέλη των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ έχω αυτό που θέλω.

#6

Προεκτείνω την

κατά τμήμα BL=SB

και σχηματίζω το παραλληλόγραμμο SLKC.

Έστω

το σημείο τομής των AS, BC.

Είναι

και

Αλλά,

οπότε

τα σημεία A,S, P, K

είναι συνευθειακά και SK=3SP=3AS.

: Μια τρύπα στο νερό.png (13.31 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

$\displaystyle 3\overrightarrow {SA} + 2\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SL} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SK} = 3\overrightarrow {SA} + 3\overrightarrow {AS} = \overrightarrow 0$

Μια τρύπα στο νερό

Μια τρύπα στο νερό

Re: Μια τρύπα στο νερό

Re: Μια τρύπα στο νερό

Re: Μια τρύπα στο νερό

Re: Μια τρύπα στο νερό

Re: Μια τρύπα στο νερό

Μέλη σε σύνδεση