Λόγος εμβαδών

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12479
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λόγος εμβαδών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 09, 2020 11:58 am

Λόγος  εμβαδών.png
Λόγος εμβαδών.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές
Το ημικύκλιο διαμέτρου BC τέμνει τις AB , AC στα σημεία S , T αντίστοιχα .

Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(SBO)}{(TOC)} . Μπορείτε χωρίς χρήση συντεταγμένων ;



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Λόγος εμβαδών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Δευ Νοέμ 09, 2020 1:20 pm

Έστω K,L τα σημεία τομής της OA με τον κύκλο
Είναι AB=2\sqrt 5a,AC=5a από ΠΘ στα AOB,AOC
OK\cdot OL=OB\cdot AC\Leftrightarrow OL=OK=a\sqrt 6
Έτσι AB\cdot AS=AT\cdot AC=AK\cdot AL
\Leftrightarrow 2\sqrt 5 aAS=5aAT=a^2(4-\sqrt 6)(4+\sqrt 6)
AS=a\sqrt 5,AT=2a\Leftrightarrow SB=\sqrt 5, CT=3
Τώρα (OCT)=\frac{1}{2}OC\cdot CT \sin \angle OCT=\frac{1}{2}\cdot 9a^2 \frac{AO}{CT}=\frac{18a^2}{5}
(OSB)=\frac{1}{2} OB\cdot BS \sin \angle OBS=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot \sqrt 5a \frac{AO}{AB}=\sqrt 5a^2 \frac{4}{2\sqrt 5}=2a^2
Και ο λόγος τους είναι \dfrac{(SBO)}{(TOC)}=\frac{5}{9}
20201109_125149.jpg
20201109_125149.jpg (28.83 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10385
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος εμβαδών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 09, 2020 4:48 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:58 am
Λόγος εμβαδών.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου BC τέμνει τις AB , AC στα σημεία S , T αντίστοιχα .

Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(SBO)}{(TOC)} . Μπορείτε χωρίς χρήση συντεταγμένων ;
Έστω SM, TN τα ύψη των τριγώνων SBO, TOC αντίστοιχα. Είναι, AC=5a, AB=2a\sqrt 5.

Άρα το CAB είναι ισοσκελές με άμεση συνέπεια, \displaystyle BT = AO = 4a \Leftrightarrow TC = 3a,AT = 2a και AS=SB.
Λόγος Εμβαδών.Κ.png
Λόγος Εμβαδών.Κ.png (16.84 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές
Είναι, SM=2a και \displaystyle \frac{{TN}}{{4a}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow TN = \frac{{12a}}{5}, οπότε: \displaystyle \frac{{(SBO)}}{{(TOC)}} = \frac{{4{a^2}}}{{\frac{{36{a^2}}}{5}}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{(SBO)}}{{(TOC)}} = \frac{5}{9}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7843
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος εμβαδών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 09, 2020 7:24 pm

Επειδή τα O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T βλέπουν την AB υπό ορθές γωνίες , το τετράπλευρο ABOT είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου AB.

Αφού το ορθογώνιο \vartriangle AOC \to \left( {4a,3a,5a} \right) , το \vartriangle ABC είναι ισοσκελές με κορυφή το C.

Προφανώς τα ύψη του από τα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B είναι ίσα και αναγκαστικά AT = BO = 2a \Rightarrow \boxed{TC = 3a}.
Λόγος εμβαδών_9_11_2020.png
Λόγος εμβαδών_9_11_2020.png (26.43 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές
Ας είναι {T_1} = \left( {AOB} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{T_2} = \left( {AOC} \right), θα είναι έτσι:

\boxed{\dfrac{{{N_1}}}{{{N_2}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{T_1}}}{{\dfrac{3}{5}{T_2}}} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{9}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2036
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λόγος εμβαδών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Νοέμ 09, 2020 10:47 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:58 am
Λόγος εμβαδών.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου BC τέμνει τις AB , AC στα σημεία S , T αντίστοιχα .

Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(SBO)}{(TOC)} . Μπορείτε χωρίς χρήση συντεταγμένων ;
Είναι CA=CB=5a και AB=2 \sqrt{5 } .Το ύψος CS του \triangle ABC είναι διχοτόμος οπότε στο ορθογώνιο

τρίγωνο ATB είναι BS=ST=AS= a\sqrt{5}

Λόγω των εγγράψιμων ATOB,ASOC οι γωνίες ίδιου χρώματος είναι ίσες και \triangle BOS \simeq  \triangle COT

    \dfrac{( BOS )}{(COT )}   =    \dfrac{( \sqrt{5}a)^2 }{(3a)^2} = \dfrac{5}{9}
λόγος εμβαδών.png
λόγος εμβαδών.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Λόγος εμβαδών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τρί Νοέμ 10, 2020 12:04 pm

Δικαιολογώντας όπως παραπάνω, ότι CAB ισοσκελές, SA=SB
και τις αναλογίες των πλευρών, βρίσκω παρόμοια ...
Συνημμένα
logoiembadon.png
logoiembadon.png (42.53 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12479
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Λόγος εμβαδών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 10, 2020 12:26 pm

Λόγος  εμβαδών , γενίκευση.png
Λόγος εμβαδών , γενίκευση.png (15.08 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές
Ευχαριστώ τους φίλους που βρήκαν το θέμα ενδιαφέρον και απάντησαν ποικιλοτρόπως .

Η σύμπτωση του CA=CB , υποβάθμισε την άσκηση . Τι γίνεται στο νέο σχήμα ;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10385
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος εμβαδών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 12, 2020 10:36 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 12:26 pm
Λόγος εμβαδών , γενίκευση.pngΕυχαριστώ τους φίλους που βρήκαν το θέμα ενδιαφέρον και απάντησαν ποικιλοτρόπως .

Η σύμπτωση του CA=CB , υποβάθμισε την άσκηση . Τι γίνεται στο νέο σχήμα ;
Φέρνω τα ύψη SM, TN των τριγώνων SBO, TOC αντίστοιχα και έστω BM=x.
Λόγος Εμβαδών.Κ2.png
Λόγος Εμβαδών.Κ2.png (19.02 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{{SM}}{a} = \dfrac{x}{b} \Leftrightarrow SM = \dfrac{{ax}}{b}\\ 
\\ 
S{M^2} = x(b + c - x) 
\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{{b^2}(b + c)}}{{{a^2} + {b^2}}} \Rightarrow \boxed{SM = \frac{{ab(b + c)}}{{{a^2} + {b^2}}}}

Ομοίως βρίσκω, \displaystyle TN = \frac{{ac(b + c)}}{{{a^2} + {c^2}}}. Άρα, \displaystyle \frac{{(SBO)}}{{(TOC)}} = \frac{{b \cdot SM}}{{c \cdot TN}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{(SBO)}}{{(TOC)}} = \frac{{{b^2}({a^2} + {c^2})}}{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης