Λόγος εμβαδών

KARKAR · #1

: Λόγος εμβαδών.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές

Το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει τις AB , AC

στα σημεία S , T

αντίστοιχα .

Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(SBO)}{(TOC)}$ . Μπορείτε χωρίς χρήση συντεταγμένων ;

Manolis Petrakis · #2

Έστω

τα σημεία τομής της

με τον κύκλο
Είναι $AB=2\sqrt 5a,AC=5a$ από ΠΘ στα AOB,AOC

$OK\cdot OL=OB\cdot AC\Leftrightarrow OL=OK=a\sqrt 6$
Έτσι $AB\cdot AS=AT\cdot AC=AK\cdot AL$
$\Leftrightarrow 2\sqrt 5 aAS=5aAT=a^2(4-\sqrt 6)(4+\sqrt 6)$
$AS=a\sqrt 5,AT=2a\Leftrightarrow SB=\sqrt 5, CT=3$
Τώρα $(OCT)=\frac{1}{2}OC\cdot CT \sin \angle OCT=\frac{1}{2}\cdot 9a^2 \frac{AO}{CT}=\frac{18a^2}{5}$
$(OSB)=\frac{1}{2} OB\cdot BS \sin \angle OBS=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot \sqrt 5a \frac{AO}{AB}=\sqrt 5a^2 \frac{4}{2\sqrt 5}=2a^2$
Και ο λόγος τους είναι $\dfrac{(SBO)}{(TOC)}=\frac{5}{9}$

: 20201109_125149.jpg (28.83 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:58 am
Λόγος εμβαδών.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα .

Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(SBO)}{(TOC)}$ . Μπορείτε χωρίς χρήση συντεταγμένων ;

Έστω

τα ύψη των τριγώνων SBO, TOC

αντίστοιχα. Είναι, $AC=5a, AB=2a\sqrt 5.$

Άρα το CAB

είναι ισοσκελές με άμεση συνέπεια, $\displaystyle BT = AO = 4a \Leftrightarrow TC = 3a,AT = 2a$ και AS=SB.

: Λόγος Εμβαδών.Κ.png (16.84 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές

Είναι,

και $\displaystyle \frac{{TN}}{{4a}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow TN = \frac{{12a}}{5},$ οπότε: $\displaystyle \frac{{(SBO)}}{{(TOC)}} = \frac{{4{a^2}}}{{\frac{{36{a^2}}}{5}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(SBO)}}{{(TOC)}} = \frac{5}{9}}$

#4

Επειδή τα $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ βλέπουν την

υπό ορθές γωνίες , το τετράπλευρο ABOT

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

.

Αφού το ορθογώνιο $\vartriangle AOC \to \left( {4a,3a,5a} \right)$ , το $\vartriangle ABC$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

.

Προφανώς τα ύψη του από τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ είναι ίσα και αναγκαστικά $AT = BO = 2a \Rightarrow \boxed{TC = 3a}$ .

: Λόγος εμβαδών_9_11_2020.png (26.43 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

Ας είναι ${T_1} = \left( {AOB} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{T_2} = \left( {AOC} \right)$ , θα είναι έτσι:

$\boxed{\dfrac{{{N_1}}}{{{N_2}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{T_1}}}{{\dfrac{3}{5}{T_2}}} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{9}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:58 am
Λόγος εμβαδών.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα .

Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(SBO)}{(TOC)}$ . Μπορείτε χωρίς χρήση συντεταγμένων ;

Είναι

και $AB=2 \sqrt{5 }$ .Το ύψος

του $\triangle ABC$ είναι διχοτόμος οπότε στο ορθογώνιο

τρίγωνο ATB

είναι $BS=ST=AS= a\sqrt{5}$

Λόγω των εγγράψιμων ATOB,ASOC

οι γωνίες ίδιου χρώματος είναι ίσες και $\triangle BOS \simeq \triangle COT$

$\dfrac{( BOS )}{(COT )} = \dfrac{( \sqrt{5}a)^2 }{(3a)^2} = \dfrac{5}{9}$

: λόγος εμβαδών.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές

nickchalkida · #6

Δικαιολογώντας όπως παραπάνω, ότι CAB

ισοσκελές, SA=SB

και τις αναλογίες των πλευρών, βρίσκω παρόμοια ...

KARKAR · #7

: Λόγος εμβαδών , γενίκευση.png (15.08 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές

Ευχαριστώ τους φίλους που βρήκαν το θέμα ενδιαφέρον και απάντησαν ποικιλοτρόπως .

Η σύμπτωση του CA=CB

, υποβάθμισε την άσκηση . Τι γίνεται στο νέο σχήμα ;

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 10, 2020 12:26 pm
Λόγος εμβαδών , γενίκευση.pngΕυχαριστώ τους φίλους που βρήκαν το θέμα ενδιαφέρον και απάντησαν ποικιλοτρόπως .

Η σύμπτωση του , υποβάθμισε την άσκηση . Τι γίνεται στο νέο σχήμα ;

Φέρνω τα ύψη SM, TN

των τριγώνων SBO, TOC

αντίστοιχα και έστω BM=x.

: Λόγος Εμβαδών.Κ2.png (19.02 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{SM}}{a} = \dfrac{x}{b} \Leftrightarrow SM = \dfrac{{ax}}{b}\\ \\ S{M^2} = x(b + c - x) \end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{{b^2}(b + c)}}{{{a^2} + {b^2}}} \Rightarrow$ $\boxed{SM = \frac{{ab(b + c)}}{{{a^2} + {b^2}}}}$

Ομοίως βρίσκω, $\displaystyle TN = \frac{{ac(b + c)}}{{{a^2} + {c^2}}}.$ Άρα, $\displaystyle \frac{{(SBO)}}{{(TOC)}} = \frac{{b \cdot SM}}{{c \cdot TN}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(SBO)}}{{(TOC)}} = \frac{{{b^2}({a^2} + {c^2})}}{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}}$

Λόγος εμβαδών

Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση