Περίεργη ισότητα

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Περίεργη ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 16, 2020 2:11 pm

Περέργη ισότητα.png
Περέργη ισότητα.png (7.91 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές
\bigstarΔίπλα στο τετράγωνο ABCD προσθέσαμε το ορθογώνιο BEZC . Το S είναι σημείο της AC .

Η ευθεία DS τέμνει την ZE στο σημείο P και η ES την DC στο T . Δείξτε ότι : DT=EP .

Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1893
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Περίεργη ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Απρ 18, 2020 3:19 pm

Ολοφάνερα sin(ADS)=sin(SPE) και

\dfrac{ST}{SE}=\dfrac{SC}{SA}=\dfrac{sin(SDC)}{sin(ADS)}=\dfrac{sin(SDC)}{sin(SPE)}

Δηλαδή \dfrac{ST}{sin(SDC)} = \dfrac{SE}{sin(SPE)}

Επομένως από νόμο ημιτόνων τα τρίγωνα SDT, SPE έχουν ίσους περιγεγραμμένους κύκλους, αφού έχουν ίσες διαμέτρους, άρα οι χορδές DT, PE, αφού σε ίσους κύκλους έχουν ίσες αντίστοιχες εγγεγραμμένες γωνίες, είναι ίσες.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Περίεργη ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Απρ 18, 2020 5:08 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 2:11 pm
Περίεργη ισότητα.png \bigstarΔίπλα στο τετράγωνο ABCD προσθέσαμε το ορθογώνιο BEZC . Το S είναι σημείο της AC .

Η ευθεία DS τέμνει την ZE στο σημείο P και η ES την DC στο T . Δείξτε ότι : DT=EP .

Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη .
Καλησπέρα ΚΑΛΗ ΑΝΑΣΤΑΣΗ

Εστω DT=x,PE=y,AB=a,ZC=b,


Στο τρίγωνο TZE με τέμνουσα SCO,\dfrac{TS}{CZ}.\dfrac{OZ}{OE}.\dfrac{ES}{ST}=1\Rightarrow \dfrac{ST}{SE}=\dfrac{a-x}{b+a},(1),

DT//EJ\Leftrightarrow \dfrac{x}{EJ}=\dfrac{TS}{SE},(2), (1),(2)\Rightarrow EJ=\dfrac{x(b+a)}{a-x},(3),

 EP//AD\Leftrightarrow \dfrac{y}{a}=\dfrac{EJ}{EJ+a+b}\Leftrightarrow

        EJ=\dfrac{y(a+b)}{a-y},(4),


 (3),(4)\Rightarrow x=y
Συνημμένα
Περίεργη ισότητα.png
Περίεργη ισότητα.png (66.28 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9330
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περίεργη ισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 18, 2020 6:15 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 2:11 pm
Περίεργη ισότητα.png \bigstarΔίπλα στο τετράγωνο ABCD προσθέσαμε το ορθογώνιο BEZC . Το S είναι σημείο της AC .

Η ευθεία DS τέμνει την ZE στο σημείο P και η ES την DC στο T . Δείξτε ότι : DT=EP .

Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη .
Καλή Ανάσταση!
Περίεργη ισότητα.Κ.png
Περίεργη ισότητα.Κ.png (43.52 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές
Μενέλαος στο TZE με διατέμνουσα \displaystyle \overline {DSP} :

\displaystyle \frac{{EP}}{{PZ}} \cdot \frac{{ZD}}{{DT}} \cdot \frac{{TS}}{{SE}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{EP}}{{PZ}} \cdot \frac{{AE}}{{DT}} \cdot \frac{{TC}}{{AE}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{EP}}{{PZ}} = \frac{{DT}}{{TC}} \Leftrightarrow \frac{{EP}}{{EZ}} = \frac{{DT}}{{DC}}

και επειδή EZ=BC=DC, θα είναι και \boxed{EP=DT}


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1893
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Περίεργη ισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Απρ 18, 2020 9:33 pm

Να πούμε ότι η πρόταση ισχύει, γενικότερα, σε ρόμβο.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1137
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Περίεργη ισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Απρ 18, 2020 9:55 pm

Το ουσιώδες εδώ είναι ότι η AS είναι διχοτόμος της γωνίας A βλέπε π.χ. εδώ. Οπότε ισχύει γενικότερα σε παραλληλόγραμμο κάτι αντίστοιχο.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1824
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Περίεργη ισότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Απρ 18, 2020 10:21 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 2:11 pm
Περίεργη ισότητα.png \bigstarΔίπλα στο τετράγωνο ABCD προσθέσαμε το ορθογώνιο BEZC . Το S είναι σημείο της AC .

Η ευθεία DS τέμνει την ZE στο σημείο P και η ES την DC στο T . Δείξτε ότι : DT=EP .

Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη .
Έστω K σημείο της AD ώστε DT=DK.Τότε , \angle DKT= 45^0 \Rightarrow KT//AC

Ισχύει, \dfrac{CS}{SA} = \dfrac{TL}{LK} (Θ.κεντρικής δέσμης) και \dfrac{CS}{SA} = \dfrac{TS}{SE} .

Άρα, \dfrac{TL}{LK}= \dfrac{TS}{SE}  \Rightarrow DP//KE \Rightarrow DKEP παραλ/μμο  \Rightarrow PE=DK=DT
Περίεργη ισότητα.png
Περίεργη ισότητα.png (13.13 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Περίεργη ισότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 19, 2020 9:27 am

Περίεργη ισότητα.png
Περίεργη ισότητα.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές
Χρόνια πολλά σ' όλους ! Η έκκληση για μη καρτεσιανές λύσεις έπιασε τόπο :clap2: . Ίσως κάποτε ...

Γράφω και μία λύση , μόνο με ομοιότητα : \dfrac{TC}{AE}=\dfrac{TK}{LE} , ή : \dfrac{a-x}{a+b}=\dfrac{t-x}{a+b-t}

Επίσης : \dfrac{DM}{MP}=\dfrac{SN}{NP} , ή : \dfrac{a-y}{a+b}=\dfrac{t-y}{a+b-t} , άρα : x=y .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4005
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Περίεργη ισότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Απρ 19, 2020 10:38 am

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Σάβ Απρ 18, 2020 10:21 pm
KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 2:11 pm
Περίεργη ισότητα.png \bigstarΔίπλα στο τετράγωνο ABCD προσθέσαμε το ορθογώνιο BEZC . Το S είναι σημείο της AC .

Η ευθεία DS τέμνει την ZE στο σημείο P και η ES την DC στο T . Δείξτε ότι : DT=EP .

Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη .
Έστω K σημείο της AD ώστε DT=DK.Τότε , \angle DKT= 45^0 \Rightarrow KT//AC

Ισχύει, \dfrac{CS}{SA} = \dfrac{TL}{LK} (Θ.κεντρικής δέσμης) και \dfrac{CS}{SA} = \dfrac{TS}{SE} .

Άρα, \dfrac{TL}{LK}= \dfrac{TS}{SE}  \Rightarrow DP//KE \Rightarrow DKEP παραλ/μμο  \Rightarrow PE=DK=DT

Περίεργη ισότητα.png
:coolspeak:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7200
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Περίεργη ισότητα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Απρ 19, 2020 12:01 pm

Πάνω κάτω μια από τα ίδια με του Θανάση
Περίεργη ισότητα.png
Περίεργη ισότητα.png (17.79 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές
Έστω ακόμα F η προβολή του S στην AD. Προφανώς το τρίγωνο , FAS είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Θέτω: TC = y\,\,,\,\,PZ = y\,\, και τις AB = a\,\,,BE = b

Τα ορθογώνια τρίγωνα, ZDP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FSD είναι προφανώς όμοια οπότε και λόγω του Θ. Θαλή έχω:

\dfrac{{a + b}}{y} = \dfrac{{DZ}}{{ZP}} = \dfrac{{FS}}{{FD}} = \dfrac{{FA}}{{FD}} = \dfrac{{ES}}{{ST}} = \dfrac{{AE}}{{TC}} = \dfrac{{a + b}}{x} και άρα x = y \Leftrightarrow DT = EP


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1072
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Περίεργη ισότητα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Κυρ Απρ 19, 2020 3:20 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 2:11 pm
Περίεργη ισότητα.png \bigstarΔίπλα στο τετράγωνο ABCD προσθέσαμε το ορθογώνιο BEZC . Το S είναι σημείο της AC .

Η ευθεία DS τέμνει την ZE στο σημείο P και η ES την DC στο T . Δείξτε ότι : DT=EP .

Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη .
Ισότητα τμημάτων.png
Ισότητα τμημάτων.png (27.03 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές
Φέρω HS \perp DS. Τότε  \angle DSH = \angle DAH =90^0 συνεπώς DAHS εγγράψιμο και επειδή AS διχοτόμος της \angle DAB

προκύπτει  SH=SD (1)

Στην απόδειξη τώρα

\displatstyle PE=PE \cdot   \frac{EL}{EL} \overset{\triangle HSL \sim \triangle PEL}{=} \frac{SH}{SL} \cdot   EL\overset{(1)}{=} \frac{SD}{SL} \cdot EL \overset{\triangle DTS \sim \triangle LEP}{=} \frac{DT}{EL} \cdot   EL=DT

Χρόνια πολλά σε όλους


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης